中石油训练赛 - 小A盗墓(线段树+异或结论)

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题目大意：给出n个数，以及m个操作，每个操作分为两种：

1 x y：将第x个数变为y
2 x y：判断闭区间[x,y]中的数能否在进行升序排序后构成一段连续且上升序列

题目分析：因为涉及到了区间修改和区间查询的问题，所以我们首先想到利用线段树来辅助解决，第一个操作很简单，单点修改，主要是我们该怎么样在规定时间内完成第二个操作才是问题，这个题目的n和m给的都是5e5，那么我们每次查询最多只能以logn的复杂度查询，就已经达到2e7的时间复杂度了，线段树已经占用掉了logn的复杂度，所以留给我们的只能用O(1)的复杂度来判断这个条件了。我想过能不能用归并树来实现这个题，应该不大行，毕竟是已经被淘汰了的数据结构，之前兴致勃勃的用归并树做主席树的题，很失望的T掉了555。说回这个题，我们需要知道一个结论，就是从1~n异或出来的结果是有规律的，详情请看我的上个博客，有了这个就好判断了，我们可以用线段树维护一个最小值，一个区间和，一个异或值，判断的时候，我们可以通过最小值和区间长度判断出最大值（因为数都是连续的，所以最小值加上区间长度就是最大值了。。），然后首先利用等差数列求和公式求一下这段的区间和应该是多少，再和线段树中储存的比较一下，如果相等再接着用异或的那个规律比较一下，这样就能通过O(1)判断是否满足条件了。

对了有个细节需要注意一下，若求0~n区间异或的函数是xor_n(int n)，那么我们想求x~y区间内的异或，应该是xor_n(y)^xor_n(x-1)

而不是xor_n(y)-xor_n(x-1)，想一想，为什么？

好了直接上代码了：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=5e5+100;struct Node
{int l,r;int mmin,xor_;LL sum;
}tree[N<<2];void pushup(int k)
{tree[k].mmin=min(tree[k<<1].mmin,tree[k<<1|1].mmin);tree[k].xor_=tree[k<<1].xor_^tree[k<<1|1].xor_;tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}void build(int k,int l,int r)
{tree[k].l=l;tree[k].r=r;if(l==r){scanf("%d",&tree[k].mmin);tree[k].sum=tree[k].xor_=tree[k].mmin;return;}int mid=l+r>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);pushup(k);
}void update(int k,int pos,int val)
{if(tree[k].l==tree[k].r){tree[k].sum=tree[k].mmin=tree[k].xor_=val;return;}int mid=tree[k].l+tree[k].r>>1;if(mid>=pos)update(k<<1,pos,val);elseupdate(k<<1|1,pos,val);pushup(k);
}int querymin(int k,int l,int r)
{if(tree[k].r<l||tree[k].l>r)return inf;if(tree[k].r<=r&&tree[k].l>=l)return tree[k].mmin;return min(querymin(k<<1,l,r),querymin(k<<1|1,l,r));
}int queryxor(int k,int l,int r)
{if(tree[k].r<l||tree[k].l>r)return 0;if(tree[k].r<=r&&tree[k].l>=l)return tree[k].xor_;return queryxor(k<<1,l,r)^queryxor(k<<1|1,l,r);
}LL querysum(int k,int l,int r)
{if(tree[k].r<l||tree[k].l>r)return 0;if(tree[k].r<=r&&tree[k].l>=l)return tree[k].sum;return querysum(k<<1,l,r)+querysum(k<<1|1,l,r);
}int xor_n(int n)
{int temp=n&3;if(temp&1)return temp/2^1;return temp/2^n;
}bool check(int len,int mmin,int xor_,LL sum)
{int mmax=mmin+len-1;LL ssum=(1LL)*len*mmin+(1LL)*len*(len-1)/2;if(ssum!=sum)return false;int _xor_=xor_n(mmax)^xor_n(mmin-1);if(_xor_!=xor_)return false;return true;
}int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);build(1,1,n);while(m--){int op,x,y;scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);if(op==1)update(1,x,y);else{int mmin=querymin(1,x,y);int xor_=queryxor(1,x,y);LL sum=querysum(1,x,y);if(check(y-x+1,mmin,xor_,sum))printf("Yes\n");elseprintf("No\n");}}return 0;
}

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