CodeForces - 1417E XOR Inverse(字典树求逆序对+分治)

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题目大意：给出一个长度为 n 的数列 a，现在要求选出一个 x，将 a 中的每个元素都异或之后得到一个新的数列 b，要求数列 b 的逆序对最小，问最小的逆序对是多少，x 该如何选择

题目分析：才知道字典树上分治也可以求逆序对，时间复杂度是 nlogn 的，做法如下：

将每个数都插入到字典树中，记录一下其下标
对于某个节点来说，其左子树中的点一定小于其右子树中的点
所以遍历一遍左子树中的点，双指针找一下右子树中有多少个点的下标大于当前枚举的点，累加起来就是逆序对的个数了

因为每一层最多有 n 个数，一共有 logn 层，所以遍历的次数约等于 nlogn 次

现在考虑该如何计算 x，假设 x 中的某一位为 0，那么在字典树上将不产生影响，如果其中的某一位为 1 ，将对其对应层数的所有节点的左右子树互换，注意这个过程中，只会影响到当前层数的逆序对，而不会影响到其他的层数的答案，换句话说，在这个题目中，x 中的每一位相互独立

再考虑如果 x 的某一位是 1 的话会造成什么影响，设原本的逆序对为 ans1，顺序对为 ans2，如果将该层的左右子树互换的话，那么 ans1 和 ans2 的值也会相应的被交换，所以我们可以对于每一层统计一下 dp[ deep ][ 0 ] 和 dp[ deep ][ 1 ] 分别表示当前层数中逆序对和顺序对的个数，如果某一层的逆序对更少，显然当前位填 0 更优，否则填 1 更优

代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=3e5+100;vector<int>node[N*40];int trie[N*40][2],cnt;LL dp[40][2];int newnode()
{cnt++;trie[cnt][0]=trie[cnt][1]=0;node[cnt].clear();return cnt;
}void insert(int x,int id)
{int pos=0;for(int i=30;i>=0;i--){int to=(x>>i)&1;if(!trie[pos][to])trie[pos][to]=newnode();pos=trie[pos][to];node[pos].push_back(id);}
}void dfs(int pos,int deep)
{if(deep==-1)return;int lson=trie[pos][0],rson=trie[pos][1];LL res=0,r=0;int lsz=node[lson].size(),rsz=node[rson].size();for(int i=0;i<lsz;i++){while(r<rsz&&node[lson][i]>node[rson][r])r++;res+=r;}dp[deep][0]+=res;dp[deep][1]+=1LL*lsz*rsz-res;if(lson)dfs(lson,deep-1);if(rson)dfs(rson,deep-1);
}void init()
{cnt=-1;newnode();
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int num;scanf("%d",&num);insert(num,i);}dfs(0,30);LL ans=0,x=0;for(int i=0;i<=30;i++){if(dp[i][0]<=dp[i][1])ans+=dp[i][0];else{ans+=dp[i][1];x|=(1<<i);}}printf("%lld %lld\n",ans,x);return 0;
}

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