0、

堆（Heap）

堆排序是一种原地的、时间复杂度为O(nlogn)的排序算法。

引入：快速排序平均情况下，时间复杂度为O(nlogn)，甚至堆排序比快速排序的时间复杂度还要稳定，但在实际中，快排性能要比堆排序好，为什么？？？

一、堆的概述

堆——是一种特殊的树

堆是一个完全二叉树（除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都是靠左排列）

堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值（也就是说，堆中每个节点的值都大于等于（或小于等于）其左右子节点的值）

大顶堆：对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点的堆。

小顶堆：对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点的堆。

注意：对于同一组数据，可以构建多种不同形态的堆（大顶堆可有不同形态，小顶堆同理）

二、堆的操作

ps：以大顶堆为例

1、插入操作

把新插入的元素放在堆的最后；
堆化（heapify）：对堆进行调整，使其重新满足堆的特性
- 两种堆化方法：
  - 思路：顺着节点所在的路径，向上或向下进行对比，然后交换
  - （1）从下往上（如下图所示）
  - （2）从上往下

==》code

public class Heap {private int[] a;     // 数组，从下标1开始存储堆中的数据private int n;       // 堆可以存储的最大数据个数private int count;   // 堆中已经存储的数据个数// 初始化public Heap(int capacity) {a = new int[capacity + 1];n = capacity;count = 0;}public void insert(int data) {if(count >= n)return;  // 堆满了count++;a[count] = data;int i = count;while(i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) {// 自下往上堆化// swap()函数用于交换下标为 i 和 i/2 的两个元素swap(a, i, i/2);i = i/2;}}
}

2、删除堆顶元素

栈顶元素存储的就是堆中数据的最大值或最小值。

以大顶堆为例，堆顶元素就是最大元素。当删除堆顶元素之后，则需要把第二大的元素放到堆顶，第二大元素必为于左右子节点中。然后迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。
==》会出现数组空洞，也就是堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。

解决方法：

将最后一个元素放在堆顶；
然后利用同样的父子节点对比方法：若不满足父子节点大小关系，则交换两个节点并重复该过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。==》从上往下的堆化方法

实现代码：

public void removeMax() {// 堆中没有数据if (count == 0)       return -1;a[1] = a[count];--count;heapify(a, count, 1);
}private void heapify(int[] a, int n, int i) {// 自上往下堆化while(true) {int maxPos = i;// 寻找最大值的位置if(i*2 <= n && a[i] < a[i/2])maxPos = i * 2;if(i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1])maxPos = i * 2 + 1;if(maxPos == i)break;swap(a, i, maxPos);i = maxPos;}
}

3、时间复杂度分析

① 一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log₂n；
② 堆化过程是顺着节点所在路径比较交换的
==》堆化时间复杂度与树高成正比，也就是O(logn)
==》插入数据和删除堆顶元素主要逻辑是堆化
==》时间复杂度O(logn)

三、堆的存储

完全二叉树比较适合用数组来存储，非常节省存储空间。

原因：不需要存储左右节点的指针，可单纯地通过数组的下标，来找到节点的左右子节点和父节点。（根节点存储在数组下标为1的位置，数组下标为i的节点的左子结点的下标为2*i，右子节点的下标为2*i+1）

四、堆排序的实现

时间复杂度为O(n²)：冒泡排序、插入排序、选择排序
时间复杂度为O(nlogn)：归并排序、快速排序、线性排序

1、堆排序

堆排序：基于堆这种数据结构实现的排序算法。

堆排序时间复杂度非常稳定的原地排序算法——O(nlogn)

堆排序的过程大致分解为：建堆和排序

（1）建堆

目标：将数组原地建成一个堆。 原地就是不借助另一个数组，就在原数组上进行操作。

思路一：将元素依次插入堆中，数组下标从1开始。该思路从前往后处理数组数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。

思路二

与思路一相反，从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。
思路二代码实现：

private static void buildHeap(int[] a, int n) {for(int i = n/2; i >= 1; --i){heapify(a, n, i);    // 自上往下堆化}
}private void heapify(int[] a, int n, int i){// 自上往下堆化while(true){int maxPos = i;if(i*2 <= n && a[i] < a[i*2])maxPos = i*2;if(i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1])maxPos = i*2 + 1;if(maxPos == i)break;swap(a, i, maxPos);i = maxPos;}
}

分析：代码仅对下标从 n/2 开始到 1 的数据进行堆化，下标从 n/2+1 到 n 的节点是叶子节点，不需要堆化
时间复杂度：
- 节点堆化的时间复杂度：O(logn)
- n/2 个节点堆化的总时间复杂度：O(nlogn) ==》不够精确
- 堆排序的建堆过程的时间复杂度：O(n)
推导过程：
① 由于叶子节点不需要堆化，所以需要堆化的节点从倒数第二层开始；
② 每个节点堆化的过程中，需比较和交换的节点个数，与该节点的高度 k (从节点到叶节点的路径长度)成正比

③ 将每个非叶子节点的高度求和，公式如下：

④ 由于 h = log₂n，代入公式S，可得 S = O(n)
⑤ 时间复杂度——O(n)

（2）排序——大顶堆《==》小顶堆

建堆后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性组织的；
- 将数组中的第一个元素（堆顶）与最后一个元素交换，则最大元素就放在下标为 n 的位置；
- 类似“删除堆顶元素”的操作，然后通过堆化方法将剩下的 n-1 个元素重新构建为堆；
- 重复上述过程，直到最后堆只剩一个下标为1的一个元素

代码

// n 表示数据的个数，数组 a 中的数据从下标 1 到 n 的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {buildHeap(a, n);int k = n;while(k > 1){swap(a, 1, k);--k;heapify(a, k, 1);}
}

分析
- 原地排序算法：整个堆排序过程，都只需要极个别临时存储空间。
- 时间复杂度：建堆O(n)+排序O(nlogn)
  - ==》整体时间复杂度： O(nlogn)
- 不稳定排序算法：在排序过程中，存在将堆的最后一个节点跟堆顶点互换的操作，可以改变值相同数据的原始相当顺序。

注意：若堆中数据从数组下标0开始存储，则节点下标为 i 时，其左子节点下标为 2i+1，右子节点的下标为2i+2，其父节点的下标为 (i-1)/2

五、在实际开发中，为什么快排要比堆排序性能好？

堆排序数据访问的方式没有快速排序友好。
- 快排数据——顺序访问
- 堆排序数据——跳着访问==》对CPU缓存不友好
对于同样的数据，在排序过程中，，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。
- 快排数据交换的次数不会比逆序度多；
- 堆排序的建堆过程会打乱数据原有的相对前后顺序，导致原数据的有序度降低；

六、堆应用

场景：假设现有一个包含10亿个搜索关键词的日志文件，如何快速获取热门榜 Top 10 的搜索关键词？

思路：

通过哈希算法求取对应的哈希值，然后对哈希值同 10 取模，得到的结果就是这个搜索关键词应被分到的文件编码。
然后利用散列表和堆，分别求取 Top 10，将10个Top 10放在一起，取Top 10。

1、优先级队列

优先级队列：数据的出队顺序不是先进先出，而是按照优先级来，优先级最高的，最先出队。
堆可以看作为一个优先级队列——往优先级队列插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素；从优先级队列中取出最高的元素，就相当于取出堆顶元素。
应用：赫夫曼编码、图的最短路径、最小生成树算法等等。
实现：JAVA 中 PriorityQueue，C++的priority_queue等。

（1）合并有序小文件

目标：假设存在100个小文件，每个文件大小为100M，每个文件中存储都是有序的字符串。==》合并成一个有序的大文件。

思路1：类似归并排序中的合并函数。分别从100个文件中，各取第一个字符串，放入数组，然后比较，将最小的字符串放入合并后的大文件中，并从数组中删除；然后从最小字符串文件中取下一个字符串，并放入数组，重复上述过程，直到所有的文件中的数据都放入到大文件为止。

思路2：利用优先级队列，也就是利用堆。从小文件中取出字符串放入小顶堆中，那堆顶的元素就是优先级队列队首的元素，即最小的字符串；将该字符串放入大文件中，并将其从堆中删除；然后再从小文件中取出下一个字符串，放入到堆中，重复上述过程，直到可以将100个小文件中的数据依次放入大文件中。
==》删除堆顶数据和往堆中插入数据的时间复杂度：O(logn)，n表示堆中的数据个数，这里是100

（2）高性能定时器

目标：有个定时器，定时器中维护很多定时任务，每个任务都设定了一个要触发执行的时间点。定时器每过一个很小的单位时间就要扫描一次任务，看是否有任务达到设定的执行时间，若达到，则执行。

思路：利用优先级队列按照设定的执行时间，将这些任务存储到优先级队列中，队列首部（堆顶）存储的就是最先执行的任务。
==》只需取队首任务的执行时间点，与当前时间相减，就得到一个时间间隔 T。
==》该时间间隔 T 就是从当前时间开始到第一个任务需要被执行的所需时间；从当前时间点到（T-1）这段时间内，定时器不需要做任何事情，当T时间过后，定时器取优先级队列中队首的任务执行。然后再计算新的队首任务的执行时间点与当前时间点的差值。

2、求 Top K

场景：将求 Top K 的问题抽象成两类。

针对静态数据集合——数据集合事先确定，不再改变；
针对动态数据集合——数据集合事先不确定，有数据动态地插入到集合中。

（1）静态数据

在包含n个数据的数组中，查找前 K 大数据
==》维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较。若比堆顶元素大，则删除堆顶元素，将这个元素插入到堆中；若比堆顶元素小，则继续遍历数组。
==》遍历数组的时间复杂度：O(n)
==》一次堆化操作的时间复杂度：O(logK)
==》最坏情况下，n个元素都入堆一次，时间复杂度：O(nlogK)

（2）动态数据

针对动态数据求得 Top K 就是实时 Top K。

一个数据集合中有两个操作：

添加数据：
询问当前的前 K 大数据：
- 维护一个大小为 K 的小顶堆，当有数据被添加到集合中时，将其与堆顶元素比较。若比堆顶元素大，则删除堆顶元素，将这个元素插入到堆中；若比堆顶元素小，则不做处理。

3、利用堆求中位数

目标：求动态数据集合中的中位数。

中位数：

若数据的个数是奇数，把数据从小往大排，第 n/2+1 个数据就是中位数；
若数据的个数是偶数，把数据从小往大排，第 n/2 个数据和第 n/2+1 个数据的单独一个或均值或…就是中位数(此处为第 n/2 个数据)；

（1）利用堆高效地实现求中位数

通过维护两个堆：一个大顶堆，一个小顶堆。 大顶堆中存储前半部分数据，小顶堆中存储后半部分数据，且小顶堆中的数据都大于大顶堆中数据。

静态数据

如果有 n 个数据，n 是偶数，我们从小到大排序，那前 n/2 个数据存储在大顶堆中，后 n/2 个数据存储在小顶堆中。这样，大顶堆中的堆顶元素就是我们要找的中位数。如果 n 是奇数，情况是类似的，大顶堆就存储 n/2+1 个数据，小顶堆就存储 n/2 个数据。

动态数据

若新加入的数据小于等于大顶堆的堆顶元素，则将这个新数据插入到大顶堆；否则若新加入的数据大于等于小顶堆的堆顶元素，则将这个新数据插入到小顶堆。

若两个堆中的数据个数不符合前面约定的情况：

若 n 是偶数，则两个堆中数据个数都是 n/2；
若 n 为奇数，则大顶堆有 n/2+1 个数据，小顶堆有 n/2 个数据；
若两个堆数据个数不满足约定，则从一个堆中不停地将堆顶元素移动到另一个堆，通过这样的调整，让两个堆的数据满足上面约定。

==》插入数据需要堆化操作，所以时间复杂度：O(logn)
==》中位数只需返回大顶堆的堆顶元素，所以时间复杂度：O(1)

（2）利用堆求百分位的数据

目标：快速求接口的 99% 响应时间？
注：99 百分位数的概念可以类比中位数，如果将一组数据从
小到大排列，这个 99 百分位数就是大于前面 99% 数据。

如果有 n 个数据，将数据从小到大排列之后，99 百分位数大
约就是第 n*99% 个数据，同类，80 百分位数大约就是第 n*80% 个数据。

为了保持大顶堆中的数据占 99%，小顶堆中的数据占 1%，
在每次新插入数据之后，我们都要重新计算，这个时候大顶堆和小顶堆中的数据个数，是否还符合 99:1 这个比例。如果不符合，我们就将一个堆中的数据移动到另一个堆，直到满足这个比例。

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