算法基本思路：

1.公钥与私钥的生成：

(1)随机挑选两个大质数 p 和 q，构造N = p*q；

(2)计算欧拉函数φ(N) = (p-1) * (q-1)；

(3)随机挑选e，使得gcd(e, φ(N)) = 1，即 e 与 φ(N) 互素；

(4)计算d，使得 e*d ≡ 1 (mod φ(N))，即d 是e 的乘法逆元。

此时，公钥为(e, N)，私钥为(d, N)，公钥公开，私钥自己保管。

2.加密信息：

(1)待加密信息(明文)为 M，M < N；(因为要做模运算，若M大于N，则后面的运算不会成立，因此当信息比N要大时，应该分块加密)

(2)密文C = Memod N

(3)解密Cd mod N = (Me)d mod N = Md*e mod N ；

要理解为什么能解密？要用到欧拉定理(其实是费马小定理的推广)aφ(n) ≡ 1 (mod n)，再推广：aφ(n)*k ≡ 1 (mod n)，得：aφ(n)*k+1 ≡ a (mod n)

注意到 e*d ≡ 1 mod φ(N)，即：e*d = 1 + k*φ(N)。

因此，Md*e mod N = M1 + k*φ(N) mod N = M

简单来说，别人用我的公钥加密信息发给我，然后我用私钥解密。

3.数字签名：

(1)密文C = Md mod N

(2)解密M = Cemod N = (Md)e mod N = Md*e mod N  = M ；(原理同上)

简单来说，我用自己的密钥加密签名，别人用我的公钥解密可以看到这是我的签名。注意，这个不具有隐私性，即任何人都可以解密此签名。

算法的安全性：基于大整数N难以分解出p和q，构造φ(N)；或由N直接构造φ(N)同样难。

算法的实现：

实现代码：

importrandomdeffastExpMod(b, e, m):"""e = e0*(2^0) + e1*(2^1) + e2*(2^2) + ... + en * (2^n)

b^e = b^(e0*(2^0) + e1*(2^1) + e2*(2^2) + ... + en * (2^n))

= b^(e0*(2^0)) * b^(e1*(2^1)) * b^(e2*(2^2)) * ... * b^(en*(2^n))

b^e mod m = ((b^(e0*(2^0)) mod m) * (b^(e1*(2^1)) mod m) * (b^(e2*(2^2)) mod m) * ... * (b^(en*(2^n)) mod m) mod m"""result= 1

while e !=0:if (e&1) == 1:#ei = 1, then mul

result = (result * b) %m

e>>= 1

#b, b^2, b^4, b^8, ... , b^(2^n)

b = (b*b) %mreturnresultdefprimeTest(n):

q= n - 1k=0#Find k, q, satisfied 2^k * q = n - 1

while q % 2 ==0:

k+= 1;

q/= 2a= random.randint(2, n-2);#If a^q mod n= 1, n maybe is a prime number

if fastExpMod(a, q, n) == 1:return "inconclusive"

#If there exists j satisfy a ^ ((2 ^ j) * q) mod n == n-1, n maybe is a prime number

for j inrange(0, k):if fastExpMod(a, (2**j)*q, n) == n - 1:return "inconclusive"

#a is not a prime number

return "composite"

deffindPrime(halfkeyLength):whileTrue:#Select a random number n

n = random.randint(0, 1<

found=True#If n satisfy primeTest 10 times, then n should be a prime number

for i in range(0, 10):if primeTest(n) == "composite":

found=Falsebreak

iffound:returnndefextendedGCD(a, b):#a*xi + b*yi = ri

if b ==0:return (1, 0, a)#a*x1 + b*y1 = a

x1 = 1y1=0#a*x2 + b*y2 = b

x2 =0

y2= 1

while b !=0:

q= a /b#ri = r(i-2) % r(i-1)

r = a %b

a=b

b=r#xi = x(i-2) - q*x(i-1)

x = x1 - q*x2

x1=x2

x2=x#yi = y(i-2) - q*y(i-1)

y = y1 - q*y2

y1=y2

y2=yreturn(x1, y1, a)defselectE(fn, halfkeyLength):whileTrue:#e and fn are relatively prime

e = random.randint(0, 1<

(x, y, r)=extendedGCD(e, fn)if r == 1:returnedefcomputeD(fn, e):

(x, y, r)=extendedGCD(fn, e)#y maybe < 0, so convert it

if y <0:return fn +yreturnydefkeyGeneration(keyLength):#generate public key and private key

p = findPrime(keyLength/2)

q= findPrime(keyLength/2)

n= p *q

fn= (p-1) * (q-1)

e= selectE(fn, keyLength/2)

d=computeD(fn, e)return(n, e, d)defencryption(M, e, n):#RSA C = M^e mod n

returnfastExpMod(M, e, n)defdecryption(C, d, n):#RSA M = C^d mod n

returnfastExpMod(C, d, n)#Unit Testing

(n, e, d) = keyGeneration(1024)#AES keyLength = 256

X = random.randint(0, 1<<256)

C=encryption(X, e, n)

M=decryption(C, d, n)print "PlainText:", Xprint "Encryption of plainText:", Cprint "Decryption of cipherText:", Mprint "The algorithm is correct:", X == M

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