UA OPTI512R 傅立叶光学导论8 多元脉冲函数

可分离变量的函数
rect函数
sinc函数
gaus函数
2-D Dirac函数
Cylinder Function
Sombrero Function
极坐标中的2-D Dirac函数

第五、六讲介绍了一元的常用impulse-like functions以及Dirac函数，这一讲介绍多元的impulse-like functions。

可分离变量的函数

称函数是可分离变量型的如果
f(x,y)=f1(x)f2(y)f(x,y)=f_1(x)f_2(y)f(x,y)=f1(x)f2(y)

需要注意的是在一个坐标系下可分离变量的函数经过坐标变换到另一个坐标系后可能就不能分离变量了。脉冲型函数大部分都被定义成可分离变量型的，可以借助这个性质把一元的脉冲型函数推广到多元。

rect函数

rect(x−x0b,y−y0d)=rect(x−x0b)rect(y−y0d)rect \left( \frac{x-x_0}{b},\frac{y-y_0}{d} \right) = rect \left( \frac{x-x_0}{b} \right) rect \left( \frac{y-y_0}{d} \right)rect(bx−x0,dy−y0)=rect(bx−x0)rect(dy−y0)

sinc函数

sinc(x−x0b,y−y0d)=sinc(x−x0b)sinc(y−y0d)sinc \left( \frac{x-x_0}{b},\frac{y-y_0}{d} \right)=sinc \left( \frac{x-x_0}{b}\right) sinc \left(\frac{y-y_0}{d} \right)sinc(bx−x0,dy−y0)=sinc(bx−x0)sinc(dy−y0)

gaus函数

Gaus(x−x0b,y−y0d)=Gaus(x−x0b)Gaus(y−y0d)Gaus\left( \frac{x-x_0}{b},\frac{y-y_0}{d} \right)=Gaus \left( \frac{x-x_0}{b} \right) Gaus \left(\frac{y-y_0}{d} \right)Gaus(bx−x0,dy−y0)=Gaus(bx−x0)Gaus(dy−y0)

2-D Dirac函数

δ(x−x0,y−y0)=δ(x−x0)δ(y−y0)\delta(x-x_0,y-y_0)=\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)δ(x−x0,y−y0)=δ(x−x0)δ(y−y0)

同样具有sifting property：
∫y1y2∫x1x2f(x,y)δ(x−x0,y−y0)dxdy=f(x0,y0)χ(x1,x2)×(y1,y2)(x0,y0)\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2} f(x,y)\delta(x-x_0,y-y_0)dxdy = f(x_0,y_0)\chi_{(x_1,x_2) \times (y_1,y_2)}(x_0,y_0)∫y1y2∫x1x2f(x,y)δ(x−x0,y−y0)dxdy=f(x0,y0)χ(x1,x2)×(y1,y2)(x0,y0)

需要注意一元Dirac函数对多元函数的筛选作用只对对应的坐标有效：
∫−∞+∞δ(x−x0)f(x,y)dx=f(x0,y)\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-x_0)f(x,y)dx = f(x_0,y)∫−∞+∞δ(x−x0)f(x,y)dx=f(x0,y)

它的作用是把f(x,y)f(x,y)f(x,y)投影到x=x0x=x_0x=x0上。了解到这点后即使是遇到下面这种积分也能一眼看出来
∫−∞+∞δ(x−y)f(x,y)dx=f(y,y)\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-y)f(x,y)dx = f(y,y)∫−∞+∞δ(x−y)f(x,y)dx=f(y,y)

这个积分的作用就是把f(x,y)f(x,y)f(x,y)投影到x=yx=yx=y上。

Cylinder Function

cylinder函数定义在极坐标(r,θ)(r,\theta)(r,θ)中，它与直角坐标的关系是
r=x2+y2,θ=arctan⁡(y/x)r=\sqrt{x^2+y^2},\theta = \arctan(y/x)r=x2+y2,θ=arctan(y/x)或者x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos \theta,y = r \sin \thetax=rcosθ,y=rsinθ

定义
cyl(r)={0,r>1/21/2,r=1/21,r<1/2cyl(r) = \begin{cases} 0, r>1/2 \\ 1/2, r = 1/2 \\ 1, r < 1/2 \end{cases}cyl(r)=⎩⎪⎨⎪⎧0,r>1/21/2,r=1/21,r<1/2

它的形状就是一个圆柱体

Sombrero Function

这个函数也定义在极坐标系中，
Somb(r)=2J1(πr)πrSomb(r)=\frac{2J_1(\pi r)}{\pi r}Somb(r)=πr2J1(πr)其中J1J_1J1是一阶第一类Bessel函数，它长下面这样，形状很像sinc函数绕yyy轴转一周的样子。

极坐标中的2-D Dirac函数

δ(x−x0,y−y0)=δ(r−r0)δ(θ−θ0)r0r0=x02+y02,θ0=arctan⁡(y0/x0)\delta(x-x_0,y-y_0)=\frac{\delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)}{r_0} \\ r_0 = \sqrt{x_0^2+y_0^2},\theta_0 = \arctan(y_0/x_0)δ(x−x0,y−y0)=r0δ(r−r0)δ(θ−θ0)r0=x02+y02,θ0=arctan(y0/x0)