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1.模拟二维空间气流气压用到的方程式

计算2D空间气流气压要用到以下方程式：

其中第一个方程为xxx方向速度uuu的N-S方程式(Navier-Stokes equation);第二个方程为yyy方向速度vvv的N-S方程式(Navier-Stokes equation);第三个方程为第一二个方程进行数学变换得到的方程。第三个方程将气压ppp与速度关联起来，称为气压的泊松方程。

记号：
u:u:u: xxx方向速度[m/s][m/s][m/s]
v:v:v: yyy方向速度[m/s][m/s][m/s]
t:t:t: 时间[s][s][s]
x:x:x: xxx方向
y:y:y: yyy方向
ν:\nu:ν: 运动粘度[m2/s][m^2/s][m2/s]
ρ:\rho:ρ: 密度[kg/m3][kg/m^3][kg/m3]
p:p:p: 气压(实际气压和雷诺平均气压的差值)[pa][pa][pa]

2.将偏微分方程离散化

对第一节中的三个方程进行时间离散化(Temporal Discretization)和空间离散化(Spatial Discretization)。其中时间离散化选用前进差分(Forward Difference)，对于空间离散化，一阶偏微分(如：∂u/∂x\partial u/\partial x∂u/∂x)选用后退差分(Backward Difference)，二阶偏微分(如：∂2u/∂x2\partial ^2u/\partial x^2∂2u/∂x2)选用中心差分(Central Difference)。

离散化之后的方程如下：
uuu的N-S方程式：

vvv的N-S方程式：

气压的泊松方程：

记号：
n:n:n: nnn时点[s][s][s]
n+1:n+1:n+1: n+1n+1n+1时点(nnn时点之后的一个时点)[s][s][s]
Δt:\Delta t:Δt: 时间间隔[s][s][s]
ui,j:u_{i,j} :ui,j: 以模拟区域的左下角为原点的i,ji,ji,j格子点处的xxx方向速度

关于计算网格请看下图说明：

接着我们将离散化后的方程式的n+1时点项和n时点项分离，n+1时点项放在等式左边，n时点项放在等式右边。变形后的结果如下：

uuu的N-S方程式：

vvv的N-S方程式：

气压的泊松方程：

3.设置模拟条件

3.1 计算网格

假设我们模拟下图所示二维房间的气流。房间的左右侧完全开敞，无墙壁等物体；上下侧为固体墙壁。风从左侧流入房间，从右侧流出。

3.2 初始条件

假设房间最开始xxx方向充满了5m/s5m/s5m/s的风，yyy方向充满了3m/s3m/s3m/s的风。气压(实际气压和雷诺平均气压的差值)处处为0。

3.3 边界条件

根据3.1节的模拟条件，选用如下图所示边界条件。

4.编写Python程序

根据以上公式和模拟条件，就可以开始编写Python程序啦。
Python程序代码见以下链接：
link
程序运行结果如下：

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