第一节整理了一下常用的连续随机变量的密度函数，并以一张图给出它们之间的关系。接下来回顾了计算密度函数的基本方法，最后以第一节中的 3 个密度函数的推导作为例题。

1.随机变量分布及特征

1.1 常用连续分布的联系

这里首先给出

接下来给出几个常用连续分布的密度函数：

伽马分布

贝塔分布

Fisher Z分布

分布

柯西分布

标准柯西分布

指数分布

卡方分布

分布

图中虚线表示

关于其中部分关系的推算我放在第三节例题中结合第二节的公式来展示。

1.2 期望

随机变量的数学期望

对于随机变量的函数

1.3 方差

方差的定义给出的计算公式为

当我们已知随机变量

有时候用上述方法来计算方差较为麻烦，因此有另一个公式

其实其本质上是一个公式

忘了公式怎么写的时候可以自己推出来。

用哪一个公式来计算方差更方便，要看具体分布情况。

2.分布函数与密度函数的计算

2.1 一维随机变量

连续随机变量

密度函数的几个性质(用法)

对于随机变量

2.2 多维随机变量（以二维为例）

设二维连续随机变量的联合密度函数为

边缘密度函数与边缘分布函数为：

-----------------------------------------------------------------------------------------------

若

则称随机变量

相互独立，否则就是不相互独立的，也称相依的。

若随机变量

-----------------------------------------------------------------------------------------------

卷积公式

若连续随机变量

证：

的分布函数为

对上式求导即可得

的密度函数。这里

.

例 正态分布均值密度函数推导

设

由卷积公式，我们可以直接计算

用归纳推理法，我们假设

则第

由此证得：

这里就简单多了，用公式（1），这里

这里我们就得到了

变量变换法

接下来介绍的变量变化法是较为常用的方法，在本科阶段的教材上就有，这里回顾一下，以二维随机变量为例

设

若

若我们只求一个随机变量

增补变量法，具体见下面例3。

3.例题

下面几个例题都以第一节的分布函数的关系为例。

例1 随机变量

首先

令

-----------------------------------------------------------------------------------------------

例2 随机变量

这里有一点非常关键,对于取值范围在

的

分布来说，函数

不是严格单调的。

幸运的是，

当

先给出

当

该式即为

是不是和上面的一样？

-----------------------------------------------------------------------------------------------

上面是单随机变量的函数的密度函数的计算，下面来看多维随机变量（以二维为例）函数的密度函数的计算。

例3 设

令

带入公式（2）中即可：

上式不用急着整理，因为我们如果想得到

可以看出