max与min函数的概率分布思考

@(概率论)

给定一样本序列则：
max(X1,X2,...,Xn)≤a⟺X1≤a,X2≤a,...,Xn≤amax(X_1,X_2,...,X_n) \leq a \Longleftrightarrow X_1\leq a, X_2\leq a,...,X_n \leq a

min(X1,X2,...,Xn)≥a⟺X1≥a,X2≥a,...,Xn≥amin(X_1,X_2,...,X_n) \geq a \Longleftrightarrow X_1\geq a, X_2\geq a,...,X_n \geq a

即：最大值小于时，则表示碰到天花板，每一个元素都是在天花板下，即，每一个都小于这个极限值。

最小值大于时，则每个元素都将大于这个底线值。

这是关于max，min的最基本的知识储备。

因此：

P(max(X1,X2,...,Xn)≤a)=P(X1≤a,X2≤a,...,Xn≤a)P(max(X_1,X_2,...,X_n) \leq a ) = P(X_1\leq a, X_2\leq a,...,X_n \leq a)

P(min(X1,X2,...,Xn)≥a)=P(X1≥a,X2≥a,...,Xn≥a)P(min(X_1,X_2,...,X_n) \geq a ) = P(X_1 \geq a, X_2\geq a,...,X_n \geq a)

这是可以直接求解类型。

而，

P(max(X1,X2,...,Xn)≥a)=1−P(max(X1,X2,...,Xn)≤a)P(max(X_1,X_2,...,X_n) \geq a ) = 1 - P(max(X_1,X_2,...,X_n) \leq a )

特别注意转化时是以max这一整块为单位的。

同理：

P(min(X1,X2,...,Xn)≤a)=1−P(min(X1,X2,...,Xn)≥a)P(min(X_1,X_2,...,X_n) \leq a ) = 1 - P(min(X_1,X_2,...,X_n) \geq a )

max不能转化到min，这是需要注意的细节。一定都是只在min或者max自己的范围内进行。也就是说max,min只是一种关系，设这种关系是f(x),

则:

P(f(x)≤a)=1−P(f(x)>a)P(f(x) \leq a) = 1-P(f(x) > a)

P(f(x)≥a)=1−P(f(x)<a)P(f(x) \geq a) = 1-P(f(x)

道理是一模一样。

然后根据最小值大于某值，则根据底线思维，每个值都大于这个值，再根据变量之间的独立性，拆开成多份。

最大值小于某只，根据上限思维，每个值都小于这个值，再根据变量之间的独立性，拆开成多份。

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