OJ：L3-021 神坛伪解排序后遍历

L3-021 神坛 (30 分)

在古老的迈瑞城，巍然屹立着 n 块神石。长老们商议，选取 3 块神石围成一个神坛。因为神坛的能量强度与它的面积成反比，因此神坛的面积越小越好。特殊地，如果有两块神石坐标相同，或者三块神石共线，神坛的面积为 0.000。

长老们发现这个问题没有那么简单，于是委托你编程解决这个难题。

输入格式：

输入在第一行给出一个正整数 n（3 ≤ n ≤ 5000）。随后 n 行，每行有两个整数，分别表示神石的横坐标、纵坐标（−109≤ 横坐标、纵坐标 <109）。

输出格式：

在一行中输出神坛的最小面积，四舍五入保留 3 位小数。

输入样例：

输出样例：

0.500

样例解释

输出的数值等于图中红色或紫色框线的三角形的面积

解题思路

我想说明的是，这个解题思路是怎么从暴力遍历里面脱胎出来的。请首先注意比对暴力法的代码和排序法的代码。

暴力遍历的思路是以每个点为中心（i），遍历其他的点（j，k），找到最小的面积，这个时间复杂度是O(n³)。在此基础上，直观想法就是改进成O(n²logn)（或者O(n^m), m<3）。改进成对数复杂度的要点就是使用排序代替双重循环，或者使用二分查找，这里显然是前者。这就提炼出这道题的中心思想：用快速排序+线性遍历代替二重循环。

然后就是如何设计排序算法了。计算三角形面积的公式是area = x1y2 - x2y1，通过这个公式发现了这个排序。按照这个三角形面积公式设计的cmp排序，可以保证最小的三角形由相邻的两个点构成。这个排序确实很抽象，因为不是基于一个绝对数值在排序，而是基于一个奇怪的比较方法，乍一看不能看出来上述的两点性质。

UPDATE

三角形必须通过相邻的点构成，这一点存疑。我觉得需要证明cmp函数的传递性以及跨点的面积值确实大于相邻点，但这个命题不成立。保证找到最小三角形的implementation实际上是每个点轮流做中心的过程，但是不知道怎么证明正确性。

事实上，这个算法果然是错的，blog给出了一个错误用例。但是思想可以借鉴。
正确的做法应该用凸包

如果觉得上述过程太抽象，应该指出，上述过程中的排序其实具有几何意义，也就是极坐标角的大小。网上的那些博客大多都指出了这一点，但没有发现这道题背后的精髓其实是找到了一个合适的排列那些点的方法。（虽然如果没有这个几何对应，也不能设计出这个排序。）

最后注意一下数据范围的问题，点坐标本身数据范围没有超过int，但是涉及到计算坐标值的乘积，所以用int还是会溢出，所以long long。

代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <bitset>
using namespace std;const int N = 5000 + 5;struct point{// 本身数据范围没有超过int，但是涉及到计算xy元素的乘积，所以用int还是会溢出，所以ll。long long x;long long y;
};bool cmp(point p1, point p2){// 极坐标角较小的排在前面return p2.y * p1.x > p1.y * p2.x;
}point p[N], temp[N];
int n;
double ans = 1e18;int main(){// inputscanf("%d", &n);for(int i=0; i<n; i++){scanf("%lld %lld", &p[i].x, &p[i].y);}// 拿每个点做中心for(int i=0; i<n; i++){// 计算其他点的相对坐标，注意去掉下标为i的中心点int tmp_j = 0;for(int j=0; j<n; j++){if(i!=j){temp[tmp_j].x = p[j].x - p[i].x;temp[tmp_j].y = p[j].y - p[i].y;tmp_j++;}}// 按照面积公式单元排序sort(temp, temp+tmp_j, cmp);// 计算邻居三角形的面积并更新最小面积for(int j=0; j<tmp_j - 1; j++){double area = (temp[j].x*temp[j+1].y-temp[j+1].x*temp[j].y)*0.5;if(area < ans) ans = area;}}printf("%.3f", ans);return 0;
}

给出一个O(n³)的方法作对比，体会用快速排序代替二重循环的精髓，体会这个排序究竟起到了什么作用。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <bitset>
using namespace std;const int N = 5000 + 5;struct point{// 本身数据范围没有超过int，但是涉及到计算xy元素的乘积，所以用int还是会溢出，所以ll。long long x;long long y;
};bool cmp(point p1, point p2){// 极坐标角较小的排在前面return p2.y * p1.x > p1.y * p2.x;
}point p[N], temp[N];
int n;
double ans = 1e18;int main(){// inputscanf("%d", &n);for(int i=0; i<n; i++){scanf("%lld %lld", &p[i].x, &p[i].y);}// 拿每个点做中心for(int i=0; i<n; i++){// 计算其他点的相对坐标，注意去掉下标为i的中心点int tmp_j = 0;for(int j=0; j<n; j++){if(i!=j){temp[tmp_j].x = p[j].x - p[i].x;temp[tmp_j].y = p[j].y - p[i].y;tmp_j++;}}// 计算邻居三角形的面积并更新最小面积for(int j=0; j<tmp_j - 1; j++){for(int k=0; k<j; k++){double area = (temp[j].x*temp[k].y-temp[k].x*temp[j].y)*0.5;if(area < ans && area > 1e-4) ans = area;}}}printf("%.3f", ans);return 0;
}