双步位移求解特征值matlab,数值分析——带双步位移的QR分解求特征值算法

C语言实现数值分析中带双步位移的QR分解求特征值算法。

数值分析(B) 大作业(二)

1、算法设计：

①矩阵的拟上三角化：

对实矩阵A进行相似变换化为拟上三角矩阵A(n 1)，其变换矩阵采用Householder矩阵，变换过程如下：

(r)

若air 0(i r 2, ,n)，则Hr I；

否则，sr=(0, ,0,ar+1,r, an,r)，

cr= -sgn(ar+1,r)||sr||2，

ur=sr-crer+1 (0, ,0,ar 1,r cr,ar 2,r, ,anr)，

Hr=I-2urur/urA

(r 1)

(r)(r)T

(r)

(r)(r)(r)

，

HrA

(r)

Hr。

(n 1)(n 2)(1)

Hn 2AHn 2 Hn 2 H1AH1 Hn 2，当r n 2时，得A

令P=H1H2 Hn-2又Hr是对称正交矩阵，于是An-1=PTAP成立，因而An-1与 A相似。

②矩阵的QR分解：

矩阵的QR分解过程与拟上三角化过程相似，在这里不再重复其原理。 ③求全部特征值

矩阵拟上三角化后利用带双步位移的QR方法，采用书本Page 63页具体算法实现。为了使编程方便，并体会goto语句使用的灵活性，程序中的跳转均使用goto Loop*实现。

④求A的相应于实特征值的特征向量

求实特征值对应的特征向量，即是求解线性方程组(λiI-A)xi=0，

(i 1, ,n)。因此，为得到全部实特征值对应的特征向量，解线性方程组的过

程要循环n次(n为矩阵阶数)。线性方程组的求解采用列主元素Gauss消去法。

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