文章目录

题目
问题分析与算法设计思路
- 思路1：类似枚举的分治（暴力）
- 思路2：二分法
算法实现（C++）
- 思路1实现
- 思路2实现
bug记录
- 1、子问题对最大值没有实现最小化
- 2、保存的最大值是局部的
运行结果
算法分析

题目

分配最小页数 （学校OJ 357题）
给定n本书的页数，m名学生。这些书按页数的升序排列成一个序列。每个学生都被分
配去读一些序列中连续的书。设分配给第i个学生的书籍的总页数为Pi，1<=i<=m。找出
优化的分配方式，使得最大的Pi最小。用分治法求解。
输入描述
第一行输入t，表示t个测试用例
对于每一个测试用例第一行输入n和m，表示书的数量和学生的数量
第二行按升序输入n个整数，表示书的页数。
输出描述
t行，表示t个测试用例的解
样例输入
2
4 2
12 34 6790
15 7
12 34 67 90 95 103 150 165 170 198 201 235 240 245 251
样例输出
113
436

问题分析与算法设计思路

思路1：类似枚举的分治（暴力）

基本思路：我们这样划分问题，不妨使第一个同学看书 x 页；而剩余的书和同学则构成一个原问题的子问题，使剩余同学中看书最多的同学看了 y 页。那么所有同学中的最大页数z=max(x,y)z = max(x,y)z=max(x,y)。
而对于剩余的书和同学，我们继续划分为一个同学和其它剩余的同学。直到只剩下一个同学时，就不可再分，组合这些子问题的解将得到最初原问题的解。

思路2：二分法

在思路1中，我们以同学为主要对象进行，通过改变给同学分配的书的数量，来搜索解空间。

基本思路：这里对问题引入一种新的描述，以方便理解。我们把每个同学看作一个桶，而每本书看作一个物品，书的页数就是物品的大小。每个桶有一个最大容量，分配书籍就是将物品一个个放入桶中，当一个桶放不下时，就将物品放到下一个桶中。那么问题就变成了，要找一个最小桶容量，而恰好能将所有的物品都放进桶中。

因此，这里问题的主要对象是桶的容量。

算法过程：对桶容量进行二分搜索，找到最小桶容量。

首先确定一个桶容量的大致范围。不妨令第 i 个物品的大小为 a[i]a[i]a[i]，所有物品大小和为 sum，则桶容量的初始区间为 [a[m],sum][a[m],sum][a[m],sum]（m 为物品数量）。

搜索：
设初始搜索区间为 [first,end][first,end][first,end]

先取中间值 mid=(first+end)/2mid=(first+end)/2mid=(first+end)/2，然后对容量 mid 进行判断
恰好合适，可以放下所有物品，但桶容量再减小 1 就放不下了。
桶小了，放不下所有物品，则搜索区间的右边 [mid+1,end][mid+1,end][mid+1,end]
桶大了，能放下所有物品，但不是恰好合适，则搜索区间左边 [fisrt,mid−1][fisrt,mid-1][fisrt,mid−1]。
递归求解。

判断桶能否放下所有物品：

遍历物品序列，逐个放入桶中。若需要桶的数量大于 m，则桶容量小了。

算法实现（C++）

思路1实现

#include<iostream>
using namespace std;
const int Big = 8848;//用作极大值
int renshu;//学生人数 int anser(int m,int n,int l,int r,int a[])//表示m堆书，n个学生在分摊之后，返回学生所看书的最大页数
{//  cout<<"m="<<m<<" n="<<n<<" l="<<l<<endl;int answer = 0;if(n == 1){int sum = 0;for(int i = l; i <= r; i++){sum += a[i];}answer = sum;goto label;}if(m == n){answer = a[r];goto label;}if(m < n){answer = Big;goto label;}if(m > n){int minOfMax = Big;int sum = 0;for(int i = l; i <= m - n + l; i++){//          cout<<"-------------------i="<<i<<"  m-n+l= "<<m-n+l<<endl;sum += a[i];int t = anser(m-i+l-1, n-1, i+1, r, a);int maxNum = max(sum, t);//原问题分成两部分，取最大值 if(maxNum == 13){system("pause");}minOfMax = min(minOfMax, maxNum);}answer = minOfMax;}
label:return answer;
}int main()
{int t,m,n;cin>>t;//t表示测试案例数 for(int j=0;j<t;j++){cin>>m>>n;//m表示书堆的数目，n表示学生数目 renshu=n;int *a=new int[m+1];for(int i=0;i<m;i++)cin>>a[i];    int answer = anser(m,n,0,m-1,a);//递归求解 cout<<"answer: "<<answer<<endl;delete [] a;}return 0;
}
/*测试数据
2
4 2
12 34 67 90
15 7
12 34 67 90 95 103 150 165 170 198 201 235 240 245 251
*/

思路2实现

运行

代码
为了方便展示运行效果，代码中嵌入了一些输出中间变量值的语句。而且在 main 函数中仅安排了一个测试用例的输入。

#include<iostream>
using namespace std;int TwoPointSearch(int f, int e, int a[], int n, int m);
bool Can(int a[], int n, int x, int m);int main(){int n = 0;//物品数量int m = 0;//桶的数量 int sum = 0;//物品大小之和 cin >> n >> m;int *a = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++){cin >> a[i];sum += a[i];}int answer = TwoPointSearch(a[n-1], sum, a, n, m);cout<<"answer:"<<answer<<endl; return 0;
}int TwoPointSearch(int f, int e, int a[], int n, int m)
{//返回：能装下的最小桶容量cout << "arange:" << f << " " << e;int mid = (f + e) / 2;bool can = Can(a, n, mid, m);cout << "  can:" << can;cout << "  mid:" << mid << endl;if(can){int can_smaller = Can(a, n, mid-1, m);if(! can_smaller){return mid;}else{return TwoPointSearch(f, mid-1, a, n, m);}}else{return TwoPointSearch(mid+1, e, a, n, m);}
}bool Can(int a[], int n, int x, int m)
{//放得下吗？//n:物品数，m:桶数 int flag = false; //to test if(x < a[0]){return false;}int need = 0;//需要桶的数量int sum = 0;//一个桶已经装了多少 for(int i = 0; i < n; i++){if(sum + a[i] <= x){sum += a[i];}else{sum = a[i];need++;}if(need + 1 > m){return false;}} return true;
}

bug记录

1、子问题对最大值没有实现最小化

问题分析
answer这个全局变量很不好，破坏了递归的逻辑。

本来要分治，前面一部分就是k，然后后面是剩余部分的最小化最大值。

代码里是用什么实现最大值的最小化的？就是answer，但answer之会在递归的第一层更新。

也就是说，对分治后的后面一段子数组，并没有实现最大值的最小化。

解决方案（见思路1实现）
改用将 answer 作为函数内的局部变量的写法。

问题代码版本

#include<iostream>
using namespace std;
int answer=100000;
int maxsize=1;
int renshu;
int anser(int m,int n,int l,int r,int a[])//表示m堆书，n个学生在分摊之后，返回学生所看书的最大页数
{//  cout<<"m="<<m<<" n="<<n<<" l="<<l<<endl;if(n==1)//如果只有一个学生，就直接返回a数组中的值之和 {int sum=0;for(int i=l;i<=r;i++){sum+=a[i];}return sum;}else if(m==n)//若书堆数和学生数相同，因为要保证每个学生都有书看，而且数组a已经排好序了，所以直接返回最后一个数即可 {return a[r];}else if(m<n)//此种情况会导致有学生没有书看，所以返回零（这个不大确定，我是乱写的） return 0;else if(m>n)//当书堆数大于学生人数时 {int k=0;for(int i=l;i<=m-n+l;i++)//表示列举可能的组合 ...这里不知道咋解释 {k+=a[i];maxsize=max(k,anser(m-i+l-1,n-1,i+1,r,a));if(n==renshu){answer=min(answer,maxsize);}}}
}int main()
{int t,m,n;cin>>t;//t表示测试案例数 for(int j=0;j<t;j++){cin>>m>>n;//m表示书堆的数目，n表示学生数目 renshu=n;int *a=new int[m+1];for(int i=0;i<m;i++)cin>>a[i];    anser(m,n,0,m-1,a);//递归求解 cout<<answer;delete [] a;answer=100000;}return 0;}

2、保存的最大值是局部的

问题分析
可以对比思路1实现。原来b也通过answer返回了，到上一层求b又有一次max的筛选，得到的才是最大值。
直接将b保存下来，只经过了与本层k的比较，就相当只比较了两个人的看书量，不是该分配情况下所有人看书最多的那一个。

b数组应该存的是若干个最大值，然后通过排序最小化最大值。现在你代码并没有保证存的b是个“最大值”

问题代码版本

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
int renshu,book;
vector<int>v;
vector<int>::iterator it;
int maxsize=100000;
void anser(int m,int n,int l,int r,int a[],int &b)//表示m堆书，n个学生在分摊之后，返回学生所看书的最大页数
{if(n==1){int sum=0;for(int i=l;i<=r;i++){sum+=a[i];}b=sum;return ;}else if(m==n){b=a[r];return ;}else if(m<n){b = 8848;return;}else if(m>n){int k=0;for(int i=l;i<=m-n+l;i++){if(n==1)break; else if(m==n)break;k+=a[i];int temp;anser(m-i+l-1,n-1,i+1,r,a,temp);b=max(k,temp);v.push_back(b);}return;}
}int main()
{int t,m,n,b=0,sum=0;cin>>t;//t表示测试案例数 for(int j=0;j<t;j++){sum=0;cin>>m>>n;//m表示书堆的数目，n表示学生数目 book=m;renshu=n;int *a=new int[m+1];for(int i=0;i<m;i++){cin>>a[i];sum+=a[i];}if(n==1)cout<<sum<<endl;else if(m==n)cout<<a[m-1]<<endl;else{anser(m,n,0,m-1,a,b);//递归求解 sort(v.begin(),v.end());cout<<*v.begin()<<endl;}  delete [] a;}return 0;}

运行结果

算法分析

思路1
本来枚举的时间复杂度应为 O(2n)\Omicron (2^n)O(2n) （n 为书数量），每本书都有分给当前同学和分给下一个同学两种选择。不过还有剪枝的优化。

思路2
采用二分搜索的时间复杂度为 O(log(m))\Omicron (log(m))O(log(m)) （m 为桶数），但每次判断桶容量是否合适都是在遍历物品序列，遍历的时间复杂度为 O(n)\Omicron(n)O(n) (n 为物品数量）。

因此总的时间复杂度应为：O(n∗log(m))\Omicron(n*log(m))O(n∗log(m)) 。

14天阅读挑战赛

【算法 | 实验8】分配最小页数（数组划分和最大值最小化问题）相关推荐

网页设置页数/总页数_图书分配问题（分配最小页数）
网页设置页数/总页数 Problem statement: 问题陈述: Given an array of integers A of size N and an integer B. College ...
蓝桥杯算法训练合集八 1.数的划分2.求先序排列3.平方计算4.三角形高5.单词复数
目录 1.数的划分 2.求先序排列 3.平方计算 4.三角形高 5.单词复数 1.数的划分问题描述将整数n分成k份,且每份不能为空,任意两份不能相同(不考虑顺序). 例如:n=7,k=3,下面三种 ...
java求最小步数,使数组值相等的最小步数 Minimum Moves to Equal Array Elements
问题: Given a non-empty integer array of size n, find the minimum number of moves required to make all ...
算法设计——用分治法查找数组元素的最大值和最小值、用分治法实现合并排序、最小费用问题、树的最大连通分支问题（代码实现）
代码链接:pan.baidu.com/s/15inIth8Vl89R1CgQ_wYc2g 提取码:gf13 算法分析与设计第 1 次实验时间 2020.3.31 地点软件大楼 127 实验名称 ...
一个数的亲和数iiic++_世界上最大的数和最小的数是多少？
在数学上,数的个数是无限的,而且大小也是无限的.无论多大的数,都能找出比它更大的数.假设M是一个极大的数,哪怕给这个数加上0.0001,所得到的M+0.0001也会比M大.同样地,无论多小的数,也能找 ...
数据结构与算法--将数组排成最小的数
将数组排成最小的数题目:输入一个正整数的数组,将数组中所有数字拼接在一起排列成一个新的数,打印能拼接出来的所有数字中最小的一个, 案例:输入数组{12,4,55},则能打印出最小的数组是:12455 ...
程序员面试题精选100题(41)-把数组排成最小的数[算法]
题目:输入一个正整数数组,将它们连接起来排成一个数,输出能排出的所有数字中最小的一个.例如输入数组{32, 321},则输出这两个能排成的最小数字32132.请给出解决问题的算法,并证明该算法. 分 ...
算法：把数组排成最小的数
* @Description 把数组排成最小的数* @问题:输入一个正整数数组,把数组里所有数字拼接起来排成一个数,打印能拼接出的所有数字中最小的一个.* 例如输入数组{3,32,321},则打印出这 ...
Java学习手册：（数据结构与算法-数组）如何求绝对值最小的数？
问题: 有一个升序排列的数组,数组中可能有正数.负数或0,求数组中元素的绝对值最小的数,例如,数组{-10,-5,-2,7,15,50},绝对值最小的是2. 方法一: 对于升序数组,求绝对值最小的数可 ...

【算法 | 实验8】分配最小页数（数组划分和最大值最小化问题）