a jni error has occurred_A-08 幂函数、有理函数、代数函数

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函数是微积分的基础，我们已经学习了直线函数和多项式函数，本篇中我们继续学习幂函数、有理函数和代数函数。

幂函数（Power Functions）

如果一个函数形如

，其中a是常数，那么我们称之为幂函数。由于a的不同，幂函数会有三种不同的情况，我们分别讨论一下。

（i）

是一个正整数

图1分别显示了

中

的图像（其实它们也可以看成是只有1项的多项式函数），其中的

（过原点的直线函数）和

（过原点的抛物线），我们已经很熟悉了。

图1

其实，

的形状取决于

是奇数还是偶数。如果

是偶数，那么

就是

偶函数，而且它的图像与

抛物线相似。如果

是奇数，那么

就是

奇函数，而且它的图像与

的图像相似。从图2中我们还注意到，

随着

值增加，

的图像在

附近变得更加平坦，而在

处变得更为陡峭。

图2

（ii）

是一个正整数

若

，函数

是一个

根式函数（root function）。

时，

称为

平方根函数（square root function），它定义域为

，其图像为抛物线

的上半部分。对于其它的偶数值

，

的图像与

的类似。如图3左图所示。

时，

称为

立方根函数(root function)，它定义域为

(因为对于任意实数都有立方根)，其图像与

的类似。如图3右图所示。

图3

（iii）

当

时，函数

称为

倒数函数（reciprocal function），如图4左图所示，它的图像是以坐标轴为渐近线（asymptotes）的双曲线（hyperbola）。这个函数的典型例子是物理和化学中的玻意耳定律（Boyle's Law），这个规律认为，当温度恒定时，气体体积

与气体压强

成反比。即

。这里的

是常数，由于压强和体积均为正数，所以它的图像只有双曲线的一支。

图4

幂函数也常常用于光照强度关于到光源距离的函数，行星公转周期关于到太阳间距离的函数等。

有理函数（Rational Functions）

如果函数

可以表示为两个多项式的比值，我们就称之为有理函数，即：

这里的

和

都是多项式。值得注意的是，有理函数的定义域需要满足

。最简单的有理函数就是上面提及的倒数函数如

。再比如下方的有理函数，它的定义域为

,它的图像如图5所示。

图5

代数函数（Algebraic Functions）

如果一个函数

可以由多项式经过代数运算（加、减、乘、除、求根）得到，那么它就是代数函数。显然，任何有理函数天生就是一个代数函数。再来两个例子：

代数函数的图像可以多种多样，没有一定规律，比如下面这样的。

图6

代数函数的一个典型例子就是相对论中的质量关于速度的函数：

这里的

是质点的静止质量（rest mass），

是真空中的光速。

小结：

本篇主要介绍了幂函数、有理函数、分式函数的定义及其主要特点。在下一篇中，我们还将认识三角函数、指数函数和对数函数。

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