Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

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典型的动态规划问题。

设dp[i][j]表示从左上角到grid[i][j]的最小路径和。那么dp[i][j] = grid[i][j] + min( dp[i-1][j], dp[i][j-1] );

下面的代码中，为了处理计算第一行和第一列的边界条件，我们令dp[i][j]表示从左上角到grid[i-1][j-1]的最小路径和，最后dp[m][n]是我们所求的结果

注意到上面的代码中dp[i][j] 只和上一行的dp[i-1][j]和上一列的dp[i][j-1]有关，因此可以优化空间为O（n）（准确来讲空间复杂度可以是O（min（row,col

）））                          本文地址

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问题扩展

最大路径和只需要把上面的递推公式中的min换成max。

现在有个问题，如果两个人同时从左上角出发，目的地是右下角，两个人的路线不能相交（即除了出发点和终点外，两个人不同通过同一个格子），使得两条路径的和最大。（这和一个人先从左上角到右下角，再回到左上角是相同的问题）。

这是双线程动态规划问题：假设网格为grid，dp[k][i][j]表示两个人都走了k步，第一个人向右走了i步，第二个人向右走了j步 时的最大路径和（只需要三个变量就可以定位出两个人的位置grid[k-i][i-1] 、 grid[k-j][j-1]），那么

dp[k][i][j] = max(dp[k-1][i-1][j-1], dp[k-1][i][j], dp[k-1][i-1][j], dp[k-1][i][j-1]) + grid[k-i][i-1] + grid[k-j][j-1]  （我们假设在起始位置时就已经走了一步）

这个方程的意思是从第k-1步到第k步，可以两个人都向右走、都向下走、第一个向下第二个向右、第一个向右第二个向下，这四种走法中选择上一步中路径和最大的。

由于要保证两条路线不能相交，即两个人走的过程中，有一个人向右走的步数永远大于另一个人向右走的步数，我们不妨设第二个人向右走的步数较大，即dp[k][i][j]中j > i才是有效的状态。走到终点的步数为：网格的行数+网格的列数-1

需要注意的是：当走了k步时，某个人向右走的步数必须 > k - 网格的行数，如果向右走的步数 <= k-行数，那么向下走的步数 = k-向右走的步数 >= 行数，此时超出了网格的范围。由于我们假设了 j > i,因此只要保证 i > k-网格行数即可。

代码如下：

我们最终的目标是dp[row+col-1][col][col] = max{dp[row+col-2][col-1][col-1], dp[row+col-2][col][col], dp[row+col-2][col-1][col], dp[row+col-2][col][col-1]} + 2*grid[row-1][col-1]

由于dp[row+col-2][col-1][col-1], dp[row+col-2][col][col], dp[row+col-2][col][col-1]都是无效的状态（dp[k][i][j]中j > i才是有效的状态），

所以dp[row+col-1][col][col]  = dp[row+col-2][col-1][col] + 2*grid[row-1][col-1]，代码中最后结果还加上了所在起点的的网格值。

由以上可知，循环中最多只需要求到了dp[row+col-2][][]。

nyoj中 传纸条（一）就是这个问题，可以在这一题中测试上述函数的正确性，测试代码如下：

这个问题还可以使用最小费用流来解决，具体可以参考here

本文转自tenos博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3774804.html，如需转载请自行联系原作者