7.4.3 矩阵极分解和平方根分解

当矩阵 AAA 是方阵时

A=UΣVT=UVTVΣVT=(UVT)(VΣVT)=QSQ=UVT是正交矩阵，S=VΣVT是对称半正定矩阵，即对任意向量x，有xTSx≥0成立，因为对角阵Σ对角元素非负.又A=UΣVT=UΣUTUVT=(UΣUT)(UVT)=KQA = U\Sigma V^T = UV^TV\Sigma V^T = (UV^T)(V\Sigma V^T)=QS \\ Q = UV^T 是正交矩阵，S=V\Sigma V^T是对称半正定矩阵，\\即对任意向量 \mathbf{x}，有 \mathbf{x}^TS\mathbf{x} \ge 0 成立，因为对角阵 \Sigma 对角元素非负. \\又 A = U\Sigma V^T = U\Sigma U^TUV^T = (U\Sigma U^T)(UV^T)=KQ A=UΣVT=UVTVΣVT=(UVT)(VΣVT)=QSQ=UVT是正交矩阵，S=VΣVT是对称半正定矩阵，即对任意向量x，有xTSx≥0成立，因为对角阵Σ对角元素非负.又A=UΣVT=UΣUTUVT=(UΣUT)(UVT)=KQ

矩阵极分解 任意方阵可分解为 A=QSA = QSA=QS 和 A=KQA = KQA=KQ 正交阵和对称半正定矩阵乘积。
其中 QQQ 是最接近矩阵 AAA 的正交矩阵，即 ∥Q−A∥\|Q-A\|∥Q−A∥ 最小。
对称半正定矩阵 S2=(VΣVT)(VΣVT)=VΣ2VT=ATAS^2 = (V\Sigma V^T)(V\Sigma V^T) = V\Sigma^2 V^T = A^TAS2=(VΣVT)(VΣVT)=VΣ2VT=ATA ，故 S=ATAS = \sqrt{A^TA}S=ATA 称矩阵 SSS 为对称半正定矩阵 ATAA^TAATA 的平方根。
同理 K=AATK = \sqrt{AA^T}K=AAT 称矩阵 KKK 为对称半正定矩阵 AATAA^TAAT 的平方根。

对称半正定矩阵平方根分解 任意对称半正定矩阵可分解为 S=FFS = FFS=FF ，其中 FFF 为半正定矩阵。
证：根据对称矩阵谱分解定理 S=QΛQTS=Q\Lambda Q^TS=QΛQT ，当 SSS 是对称半正定矩阵时，对角阵 Λ\LambdaΛ 对角元素非负。

S=QΛQT=QΣΣQT=QΣQTQΣQT=FFF=QΣQT,Σ=Λ=diag(λ1,⋯,λn)S=Q\Lambda Q^T = Q\Sigma \Sigma Q^T = Q\Sigma Q^T Q \Sigma Q^T = FF \\ F = Q\Sigma Q^T, \Sigma = \sqrt{\Lambda} = diag(\sqrt{\lambda_1},\cdots,\sqrt{\lambda_n}) S=QΛQT=QΣΣQT=QΣQTQΣQT=FFF=QΣQT,Σ=Λ=diag(λ1,⋯,λn)

所以对称半正定矩阵可以看作是实数中的非负数，有平方根。

对称半正定矩阵平方根分解还有一种三角分解法，根据高斯消元法得到。

对称半正定矩阵平方根分解 任意对称半正定矩阵可分解为 S=LLTS = LL^TS=LLT ，其中 LLL 为下三角矩阵，对角元素为负。
证：根据任意方阵的 LDU 分解，有 S=LDUS = LDUS=LDU ，其中 LLL 是下三角单位矩阵，DDD 是上三角单位矩阵，DDD 是对角阵。当 SSS 是对称半正定矩阵时，有 U=LTU=L^TU=LT，对角阵 DDD 对角元素非负。
S=L′DL′T=L′DDL′T=LLTL=L′DS = L' D L'^T = L' \sqrt{D} \sqrt{D} L'^T = LL^T \\ L = L' \sqrt{D} S=L′DL′T=L′DDL′T=LLTL=L′D

S=LLTS = LL^TS=LLT 称为 Cholesky 分解。

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