POJ 1091 跳蚤【容斥原理】+模板

Description

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。

Output

可以完成任务的卡片数。

Sample Input

2 4

Sample Output

12

Hint

这12张卡片分别是：
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)

分析
考点：数论和组合数学的相关知识
如果存在x[1],x[2]…x[n],使得 data[1]*x[1]+data[2]*x[2]+…+data[3]*x[3]==1;,则，data[1],data[2],…data[n]最大公约数一定是1；

下面我们用反证法来证明一下

反证法
如果存在最大公约数 d ，则data[1]*x[1]+data[2]*x[2]+…+data[3]*x[3]一定能被d 整除，所以这显然d不等于1，所以如果想让data[1]*x[1]+data[2]*x[2]+…+data[3]*x[3]==1;,data[1],data[2],…data[n]最大公约数一定是1；

一共有 m^n张卡片，如果减去其中含有公约数的卡片剩下的就是所求的结果

举个例子 n=2, m=360; 360=2 ^ 3 * 3 ^ 2 * 5

总方案数 = (m ^ n) - （有公因数2的n元组）- （有公因数3的n元组）- （有公因数5的n元组）+ （有公因数2，3的n元组） +（有公因数2，5的n元组） + （有公因数3，5的n元组）- （有公因数2，3，5的n元组）

这个比公式形象些有公因数d的n元组，每个位置上有 (m/d)个选择（1 ~ m里面有m/d个d的倍数），根据乘法原理，可以得出有公因数d的n元组有 (m/d)^n 个。

根据数论的知识，n个数的最大公约数规定为这n个数线性和的最小自然数，所以此题就是要求最大公约数为1的数列的个数

我们假设卡片上的数分别为：a1,a2,a3,a4⋅⋅⋅⋅⋅⋅an,m，那么如果要满足题目要求，就是说存在一个数列x:x1,x2,x3,x4⋅⋅⋅⋅⋅⋅xn,xn+1使得a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+anxn+mxn+1=1。也就是说gcd(a1,a2,a3,a4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,an,m)=1

（欧几里得）

综上所述，我们先将m质因数分解，然后容斥统计即可。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=100+8;
typedef long long LL;
int num;
int prime[maxn];
LL p[maxn];
LL res,temp;
int n,m;
void divide(int m)
{num=0;for(int i=2;i*i<=m;i++){if(m%i==0){prime[++num]=i;m/=i;while(m%i==0) m/=i;}}if(m>1) prime[++num]=m;
}
void dfs(int b,int cnt,int c)
{if(cnt==c){int x=m;for(int i=1;i<=c;i++)x/=p[i];temp+=pow(x,n);return;}for(int i=b;i<=num;i++){p[cnt+1]=prime[i];dfs(i+1,cnt+1,c);}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);while(cin>>n>>m){res=0;divide(m);for(int i=1;i<=num;i++){temp=0;dfs(1,0,i);if(i&1) res+=temp;else res-=temp;}res=pow(m,n)-res;cout<<res<<endl;}return 0;
}

学如逆水行舟，不进则退

POJ 1091 跳蚤【容斥原理】+模板相关推荐

POJ - 1091 跳蚤(容斥原理+数论)
题目链接:点击查看题目大意:中文题意,不多赘述题目分析:根据题目的意思,其实只需要让所有数的最大公约数为1就可以满足条件,好像是用到了欧几里得的一些知识,奈何我的数论比较菜,也不会证明,就直接用网 ...
POJ 1091 跳蚤
跳蚤 Time Limit: 1000ms Memory Limit: 10000KB This problem will be judged on PKU. Original ID: 1091 64 ...
POJ 1287 Prim算法模板
原题链接:POJ1287 解析:这题我用来练习Prim算法的,算是当作一个模板来看.以下代码有几点要说明的: 我使用了优先队列,并没有使用dist[u]数组来保存当前子树到 u 的最短距离,这样省去了 ...
Drainage Ditches - poj 1273（网络流模板）
题意:1是源点,m是汇点,求出来最大流量,没什么好说的就是练习最大流的模板题 ************************************************************* ...
POJ 1091（数论）
题目大意是给定两个整数n和m,求出长度为n+1满足条件的数列data的个数,数列的要求下: 1)1<=data[i]<=m,for1<=i<=n 2)data[n+1]=m; ...
jzyzoj 1216 poj虫洞 3259 Bellman_Ford模板
描述 Description 在一个神秘岛上,有N(1 <= N <= 500)个洞口,标号1-N,它们之间有M (1 <= M <= 2500) 条通道相连.神秘的竟然另外还 ...
信息学竞赛中的数学知识 --- 容斥原理
C++基础数论-----容斥原理 C++基础数论-----容斥原理_C2020lax的博客-CSDN博客_容斥原理c++ C++数论容斥原理----无关的元素 C++数论容斥原理----无关的元素 - ...
POJ前面的题目算法思路【转】
1000 A+B Problem 送分题 49% 2005-5-7 1001 Exponentiation 高精度 85% 2005-5-7 1002 487-3279 n/a 90% 2005-5- ...
POJ 超详细分类
POJ 各题算法 1000 A+B Problem 送分题 49% 2005-5-7 1001 Exponentiation 高精度 ...

POJ 1091 跳蚤【容斥原理】+模板

POJ 1091 跳蚤【容斥原理】+模板相关推荐

最新文章

热门文章

POJ 1091 跳蚤 【容斥原理】+模板

POJ 1091 跳蚤 【容斥原理】+模板相关推荐

最新文章

热门文章

POJ 1091 跳蚤【容斥原理】+模板

POJ 1091 跳蚤【容斥原理】+模板相关推荐