POJ - 1091 跳蚤(容斥原理+数论)

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题目大意：中文题意，不多赘述

题目分析：根据题目的意思，其实只需要让所有数的最大公约数为1就可以满足条件，好像是用到了欧几里得的一些知识，奈何我的数论比较菜，也不会证明，就直接用网上大牛们的结论吧，题目说了第n+1个数已经帮我们选好了，为m，所以我们只需要找出有多少种情况选择n个与m互质的数就是题目所求了，不过正难则反，我们可以求有多少组数与m是有不互质的，用总数减去当前答案数就是最后要求的最终答案了，这样问题就转换为了求1~m中有多少个数与n互质，不过这个题目稍微有一点点的变化就是并不是直接询问的个数，而是排列组合数，给出的n就是起到了这个用处，因为对于1~m中的任意一个数x，其都可以在n个位置出现，所以总的方案数为m^n，而每次需要操作的答案也是需要加一个n次幂就好了，举个很简单的例子想一下，比如现在我们需要求与m的公因子p不互斥的数有num个，求出这个答案后，这num个数可以互相搭配，在这个题目做出的贡献就是num^n了

一开始看到m是1e8，三次方就爆掉longlong了，但好像是由于数据比较水，用longlong就能水过，所以也不用大费周折的去开高精度来做啦

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=210;LL q_pow(LL a,LL b)
{LL ans=1;while(b){if(b&1)ans*=a;a*=a;b>>=1;}return ans;
}vector<int>fact;LL solve(LL n,LL m)
{fact.clear();LL temp=m;for(LL i=2;i*i<=temp;i++){if(temp%i==0){fact.push_back(i);while(temp%i==0)temp/=i;}}if(temp>1)fact.push_back(temp);LL ans=0;for(int i=1;i<(1<<fact.size());i++){LL cnt=0;LL mul=1;for(int j=0;j<fact.size();j++){if(i&(1<<j)){cnt++;mul*=fact[j];}}if(cnt&1)//奇加偶减 ans+=q_pow(m/mul,n);elseans-=q_pow(m/mul,n);}return q_pow(m,n)-ans;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);LL n,m;while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)printf("%lld\n",solve(n,m));return 0;
}

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