平移刚体上各点的加速度和速度_大物学习笔记（一）—

第一次写笔记，或多或少都会有很多的不足。疫情期间一直都是网课的学习，书本也没有带回来，经常都是在草稿本上随手推导一下公式，隔几天翻了几页，自己推导的东西就不见了。所以总想着来总结一下，把学的东西稍稍理一下。如果有错误也请大家指出来，毕竟是才学，不算是非常熟悉。就当做写给自己的一个知识整理吧。

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刚体的定义：

在任何外力的作用下不发生形变的物体。刚体是理想化的物体（说白了就是现实不存在）。并且可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质元组成的质点系（就是可以看做很多个质点组成的）。

刚体的运动：

平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。（平动没有什么好说的，就可以当做一个质点来进行计算，基本上大家利用高中所学的知识就能够完成平动的计算）

转动：刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。（这部分才是刚体力学的重点，下面的部分讲的就是刚体的转动部分）

接下来讲一下基本的物理量：

：角度（

：在某个时间内转过的角度）

：角速度（假设角度随时间变化的方程是

，则

就是其对时间的求导）

：角加速度（

，对时间求二次导数）

角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋法则（这个不懂的可以查一下，理解了就很简单，没理解就搞不懂）。

1.力矩：

（注意这里是两个向量叉乘，我还不清楚知乎怎么打出向量的箭头符号）（这里的力是投影到刚体所在平面内的力，可以根据向量法则进行拆分出来）

大小：

，

是两个向量的夹角

方向：满足右手螺旋法则

单位：

在平面内，

垂直于刚体所在平面，

是原本施加的力

2.角动量：

推导过程：因为我们知道平动的物体动量就是

，在转动过程中对于刚体中任意一质点的角动量

，而我们又知道

，所以

，而之前就讲过了，我们可以把刚体看成无穷多个质点。所以我们把所有的质点全部加起来就是整个刚体的角动量

，而同轴转动的物体，角速度相同。所以我们得到了公式：

。

单位：

注意事项：角动量是矢量（因为

和

是矢量，乘积出来也是矢量，因为

和

夹角始终是

，所以正弦值等于1对计算没有影响），方向满足

右手螺旋法则。

3.转动惯量：

联系：从式子，我们就不难看出它与角动量之间的关系

（这里的z是转动轴，绕z轴转动的意思）。

注意事项：

（1）.刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。而与刚体的运动状态无关。

（2）.对于不规则的刚体，具体计算时可以采用积分等数学方法计算。对于常见的形状，建议大家还是记住其转动惯量是多少。

巧算方法：若刚体对一个过质心的轴的转动惯量为

，则刚体对与该轴相距为

的

平行轴z的转动惯量

是

。这个式子极为重要！！而且一定要记住

的轴一定要过质心。

常见物体转动惯量：

4.转动定理：刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。

（力矩=转动惯量*角加速度）（相信大家看到这里都发现了一些联系，在平动之中

，是不是感觉很相似呢）

推导过程：

（这里的M是合力矩）

例题

1.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。）

解：摆杆部分的转动惯量：

摆锤部分的转动惯量：

2.一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为

，绕中O心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为

）

解：

(一个圆环的质量)

(一个圆环上的力矩)

下一篇：大物学习笔记（二）——角动量守恒与刚体转动的功和能

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