输入两个整数 n 和 m ，从数列 1 ， 2 ， 3.......n 中随意取几个数 ,使其和等于 m

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编程求解：输入两个整数 n 和 m ，从数列 1 ， 2 ， 3.......n 中随意取几个数 ,使其和等于 m , 要求将其中所有的可能组合列出来.

分析：

主要思想：分治，即m=idx+m-idx
从最大数字n开始查找，然后逐渐后退，但每次查找只会在比当前数字大的方向进行组合尝试，这样可以保证找到的组合不会重复。
参考代码

1: #include

2: #include

3: #include<<SPAN style="COLOR: #0000ff">string.h>

4: void myDump(int aux[], int n)

5: {

6: for (int i=0; i

7: if (aux[i]) // 0标示未选择该数字

8: printf("=", i+1);

9: printf("\n");

10: }

11:

12: void helper(int dest, int idx, int aux[], int n)

13: {

14: if (dest == 0) // m减为0时，找到一个组合，输出

15: myDump(aux, n);

16:

17: // 递归结束条件：dest=0,说明找到一个组合；dest<0,说明该组合不满足（和大于m)；

18: // 如果idx=n，则说明已达到规定的最大数字（范围为1-n)

19: if (dest <= 0 || idx==n)

20: return;

21:

22: helper(dest, idx+1, aux, n);

23: aux[idx] = 1; // 标示选择了数字idx+1

24:

25: //因为已经选择了idx，即选择了数字idx+1，所以将m减去idx+1

26: helper(dest-idx-1, idx+1, aux, n);

27: aux[idx] = 0; //无论结果是否满足，都需要取消原来已选择的数字idx+1，然后尝试另一种组合

28: }

29:

30: void findCombination(int n, int m)

31: {

32: if(n>m) //因为和为m，所以大于m的数肯定不行

33: n=m;

34:

35: int* aux=new int[n];

36: memset(aux, 0, n*sizeof(int));

37:

38: helper(m, 0, aux,n);

39:

40: delete[] aux;

41: }

42:

43: int main()

44: {

45: int n,m;

46: scanf("%d,%d",&m,&n);

47:

48: findCombination(n,m);

49:

50: getchar();

51: return 0;

52: }

*****************************************************************************

解题思路:
显而易见, 当n>m时, 肯定存在满足题目要求的子集. 由于数列1,2,...,n是正整数数列, 这使得所有的大于m的数加上数列最小元素1都会大于m, 所以当n>m时我们只需要考虑子数列1,2,...,m即可.
当n<=m时,我们需要搜索1,2,...,n中符合条件的子集. 实际上, 我们可以将原问题分解成两个子问题:
子问题一: 在n个数的数列,我们取n, 然后原问题就变为找出1,2,...,n-1中和为m-n的所有子集,然后将所有的子集都加上元素n就得到了原问题的部分解集;
子问题二: 我们不取n, 原问题就变为找出1,2,...,n-1中和为m的所有子集.
联合两个子问题的解, 便得到了原问题的解集.

我们用subsets( n, m) 表示原问题, 那么原问题可表示为子问题 subsets(n-1, m) 和subsets( n-1, m-n)的解集的并集.
即: subsets( n, m) = subsets(n-1, m) U subsets( n-1, m-n)
实际中,可采用回溯的方法进行求解. 后面附有完整的代码.

实际的搜索方法类似于二叉树的方法, 去除不符合条件的解. 例如下面的二叉树就表示了1,2,...,n的全组合的求解过程. 左边分支表示取,右边的分支表示舍. 针对于0-1背包问题, 八皇后问题, 射击十次命中九十环的打法问题等等, 则需要剪除掉一些不符合条件的子树.

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <time.h>

#define MAXN 1000

int stack[MAXN];
int top = -1;
void push( int e )
{
assert( top < MAXN );
stack[++top] = e;
}

void pop( )
{
assert( top > -1 );
top--;
}

void clear()
{
top = -1;
}

void printStack( )
{
int i=top;
while( i>-1 )
printf("%d\t", stack[i--] );
printf("\n");
}

int subsets( int n, int m )
{
int i;
int num=0;
int flag = 1;

if( n > m )
n = m;

for( i = n; flag && i>=1; i-- )
{

  push( i );


  if( m-i == 0 )
  {
   num++;
   printStack();
  }
  else
  {


   if( (i-1)*i/2 < (m-i) )
   {
    pop();
    flag = 0;
    continue;
   }

num += subsets( i-1, m-i );
  }


  pop();
}

return num;
}

void testSubsets()
{
assert( 1 == subsets( 1, 1 ) );
printf( "\n\n" );
assert( 0 == subsets( 1, 2 ) );
printf( "\n\n" );
assert( 3 == subsets( 5, 6 ) );
printf( "\n\n" );
assert( 5 == subsets( 7, 7 ) );
}

int main()
{
testSubsets( );

clock_t start = clock();
subsets( 50, 50 );
clock_t duration = clock() - start;
printf("it takes %d seconds\n", duration/CLOCKS_PER_SEC );
return 0;
}

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