hdu 4279Number(数论)
传送门
参考资料:
[1]:https://www.2cto.com/kf/201308/233613.html
题意,题解在上述参考资料中已经介绍的非常详细了,接下来的内容只是记录一下我的理解;
我的学习记录:
定义 f(x) : x的因子个数;
φ(x) : x之前与x互素的数的个数;
那么 F(x) = x - f(x) - φ(x) + 1;
为什么要 +1 呢?
因为 f(x) 和 φ(x) 同时包含 1 这个数,所以要加上多减去的 1;
根据算术基本定理:
任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积
N=P1a1×P2a2×P3a3×......×Pnan,这里P1<P2<P3......<Pn均为质数,其中指数ai是正整数。
那么,N的因子肯等为 x = P1b1×P2b2×P3b3×......×Pnbn 这种形式,易知 b1∈[0,a1] , b2∈[0,a2] , ..... , bn∈[0,an],共
f(x) = (a1+1)*(a2+1)*........*(an+1)个因子;
如果要使 f(N) 为奇数,那么 (a1+1),(a2+1),........,(an+1) 要全部为奇数,也就是说 a1 , a2 ,........,an 全为偶数,即 N 为完全平方数;
综上:
N为完全平方数时,f(N)为奇数;
N为非完全平方数时,f(N)为偶数;
接下俩就是求解φ(x),这个是数论中比较重要的公式--欧拉公式;
定理1:
如果GCD(a,b) == 1,那么 φ(a*b) = φ(a)*φ(b);
定理2:
如果 p 为素数,那么 φ(pk) = pk-1*(p-1);
(相关证明自行百度,逃);
定理3:
那么对于任意大于 2 的数 x = P1a1×P2a2×P3a3×......×Pnan, φ(x) 为偶数;
①如果p为奇数:根据公式 φ(p^k)=p^(k-1)*(p-1) (p-1)一定为偶数,则 φ(p^k)为偶数,则 φ(x)为偶数; ②如果p为偶数:那么,p只能为2;如果k > 1,那么 φ(2^k)为偶数;如果k = 1,那么对于大于2的数x,一定会分解出除2的另一个质因子p2,根据①的得知φ(p2^k2)为偶数; 综上φ(x)为偶数;
定理3简单证明
综上所述:
当 x > 2 时:
①如果x为完全平方数,那么 F(x) = x - f(x) - ( φ(x) -1) = x - 奇数 - 奇数 = x - 偶数,只有当 x 为奇数时,F(x)为奇数;
②如果x为非完全平方数,那么 F(x) = x - f(x) - ( φ(x) -1) = x - 偶数 - 奇数 = x - 奇数,只有当 x 为偶数时,F(x)为奇数;
所以,[3,x] 中使得 F(i) 为奇数的个数 ⇔ [3,x]中 奇完全平方数+偶非完全平方数 = 偶数-偶完全平方数+奇完全平方数;
[3,x]中偶数的个数为 x/2 - 1 (减掉的是 2), 平方数个数为 sqrt(x)-1 (减掉的是 1)个;
如果 (sqrt(x)-1)%2 == 0(sqrt(x)为奇数),那么 偶完全平方数与奇完全平方数 个数相等,F(x) = x/2-1;
如果 (sqrt(x)-1)%2 ≠ 0(sqrt(x)为偶数),那么 偶完全平方数比奇完全平方数 个数多1,F(x) = x/2-1 -1;
AC代码:
1 #include<iostream> 2 #include<cmath> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 #define ll long long 6 7 ll n,m; 8 9 ll Solve(ll x) 10 { 11 if(x < 3) 12 return 0; 13 ll tot=sqrt(x); 14 if(tot*tot > x)//sqrt()函数存在精度问题,可能使得tot*tot > x 15 tot--; 16 ll ans=x/2-1; 17 return ans+((tot%2 == 0)?-1:0); 18 } 19 int main() 20 { 21 int test; 22 scanf("%d",&test); 23 while(test--) 24 { 25 scanf("%lld%lld",&n,&m); 26 printf("%lld\n",Solve(m)-Solve(n-1)); 27 } 28 return 0; 29 }
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转载于:https://www.cnblogs.com/violet-acmer/p/10676924.html
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