从二叉搜索树到平衡二叉搜索树

二叉搜索树的中序序列相同，则称它们彼此等价。两个等价的二叉搜索树，可能在形态上存在拓普茶艺，各个节点的垂直高度可能有所不同，但水平次序完全相同，可简化为“上下可变，左右不可变”。

1. 树高与性能

一个二叉搜索树（要求有序）需要支持的主要接口有：

search()
insert()
remove()

三者的时间复杂度均正比于二叉树的高度。在最坏的情况下，所有的内部结点（根和叶子除外），均为左孩子结点或右孩子结点。此时的查找效率甚至会降至 O(n)O(n)，线性正比于数据集的规模。故若不能有效地控制树高，则就实际的性能而言，相比此前的向量和列表，二叉搜索树将无法体会出明显优势。

2. 结点数与树的高度

证明含 nn 个结点的二叉树的最小高度为 ⌊log2n⌋\lfloor\log_2n \rfloor（同时也是完全二叉树（线性表存储）的树高）。

高度为 hh 的二叉树结点与树高的关系为：

n≤2h+1−1

n\leq 2^{h+1}-1

等号成立，当且仅当二叉树是满树。

h≥⌈log2(n+1)⌉−1=⌊log2n⌋

h\geq \lceil\log_2(n+1)\rceil-1=\lfloor\log_2n\rfloor

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