[傅里叶变换及其应用学习笔记] 七. 傅里叶正(反)变换复习
这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。
傅里叶变换没有统一的定义
符号
傅里叶变换的符号在不同的书籍可能有不同的写法:
如正变换的符号:$\mathcal{F} f(s)$,$\hat{f}(s)$,$F(s)$
如反变换的符号:$\mathcal{F}^{-1}f(t)$,$\check{f}(t)$,$f(t)$
公式
傅里叶变换的公式也没有统一的写法:
本课程采用的是如下公式
$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$
另外有些书本的写法是
$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ist}f(t)dt }$
这是由于采用不同的周期而导致的,但是尽管写法不同,但表示的都是同样的意思。
高斯(Gaussian)函数的傅里叶变换
高斯函数的归一化(积分为1)式子如下:
$f(t) = e^{-\pi t^2}$
高斯函数图像如下:
对高斯函数进行积分过程如下:
由于高斯函数的变量$t$是在幂的位置上,而且是二次方,因此无法直接用$dt$对其进行积分计算。下面采用极坐标方法
$\begin{align*}
\left(\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt}\right)^2
&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^2}dx\times \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi y^2}dy}\\
&=\displaystyle{\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi(x^2+y^2)}dxdy}\\
&=\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^2}rdrd\theta\\
&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^2}rdr\\
&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^2}d(\frac{1}{2}r^2)\\
&=\frac{2\pi}{\pi}\times\frac{1}{2}\int_0^{\infty}e^{-\pi r^2}d\pi r^2\\
&=\int_0^{\infty}e^{-s}ds\\
&=\left. -e^{-s}\right|_0^{\infty}\\
&=0-(-1)\\
&=1
\end{align*}$
那么该高斯函数的积分为
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt = \sqrt{1} = 1 }$
下面对高斯函数进行傅里叶变换
$\begin{align*}
F(s)=\mathcal{F} f(s)
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}dt
\end{align*}$
这也是一个非常难以积分的项,我们需要采用其他巧妙的方法:微分
$\begin{align*}
F'(s)=\mathcal{F} f'(s)
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d(e^{-2\pi ist})}{ds}e^{-\pi t^2}dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}-2\pi ite^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}dt\\
&=i\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}(-2\pi te^{-\pi t^2})dt\\
&=i\left(\left. e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}\right|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}(-2\pi ise^{-2\pi ist})dt\right)\\
&=-2\pi s\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}dt\qquad eliminate\ \left. e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}\right|_{-\infty}^{\infty}\ because\ |e^{-2\pi ist}|=1,\lim_{t\to\infty}e^{-\pi t^2}=0\\
&=-2\pi sF(s)
\end{align*}$
求偏微分方程,得
$F(s) = F(0)e^{-\pi s^2} = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt\times e^{-\pi s^2} } = e^{-\pi s^2}$
也就是说归化为1的高斯函数的傅里叶变换还是归化为1的高斯函数
反转信号(reverse signal)
这是一个新的定义,目的是为了方便式子的表达,定义如下
令$f^{-}(t) = f(-t)$
$f^{-}(t)$即为$f(t)$的反转
傅里叶变换的对偶性(Fourier Transform Duality)
回顾一下傅里叶变换:
$F(s) = \mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$
当取值为$-s$时,
$F(-s) = \mathcal{F} f(-s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist}f(t)dt } = \mathcal{F}^{-1}f(s)$
一般来说,$f(t)$是时域,$F(s)$是频域,$f(t)$通过傅里叶变换得到$F(s)$,$F(s)$通过逆变换得到$f(t)$。不过上面的式子是对$f(t)$进行傅里叶逆变换,在这里,我们并不需要分析这个等式所表示的含义,而是把傅里叶变换当作工具使用。
对偶定理1
把反转信号引入傅里叶变换的对偶性中,得$\mathcal{F} f(-s) = (\mathcal{F} f)^{-}(s)$,而且上面对偶性讨论已得出结论:$\mathcal{F} f(-s) = \mathcal{F}^{-1}f(s)$,即有
$(\mathcal{F} f)^{-}(s) = \mathcal{F}^{-1}f(s)$
$(\mathcal{F} f)^{-} = \mathcal{F}^{-}f$
函数的傅里叶变换的反转等于对该函数进行傅里叶逆变换。
对偶定理2
如果对$f^{-}(t)$进行傅里叶变换会得到什么结果呢?
$\begin{align*}
\mathcal{F}(f^{-}(s))
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(-t)dt\\
&= \int_{+\infty}^{-\infty}e^{-2\pi is(-u)}f(u)d(-u) \qquad let \ u=-t\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi isu}f(u)du\\
&= \mathcal{F}^{-1}f(s)
\end{align*}$
即,
$\mathcal{F}(f^{-}) = \mathcal{F}^{-}f$
函数的反转的傅里叶变换等于对该函数进行傅里叶逆变换。
对偶定理3
把对偶定理1与对偶定理2结合起来,得
$(\mathcal{F} f)^{-} = \mathcal{F}(f^{-})$
函数的傅里叶变换的反转等于对该函数反转的傅里叶变换
对偶定理4
对函数进行两次傅里叶变换
$\mathcal{F}\mathcal{F} f = \mathcal{F}(\mathcal{F} f) = \mathcal{F} (\mathcal{F}^{-}(f^{-})) = f^{-}$
函数连续进行两次傅里叶变换等于该函数的反转。
对偶定理的应用
对偶定理的目的是为了方便计算,如:
求$sinc$函数的傅里叶变换。
$sinc = \frac{sin \pi s}{\pi s}$
由上一节课我们知道$\pi$函数经过傅里叶变换后得到$sinc$函数,那么我们就运用傅里叶变换的对偶定理能进行如下计算
$\mathcal{F} sinc = \mathcal{F}\mathcal{F} \pi = \pi^{-} = \pi$
转载于:https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/5001598.html
[傅里叶变换及其应用学习笔记] 七. 傅里叶正(反)变换复习相关推荐
- OpenCV学习笔记(七)——图像梯度及边缘检测
图像梯度计算的是图像变化的速度.对于图像的边缘部分,其灰度值变化较大,梯度值也较大:相反,对于图像中比较平滑的部分,其灰度值变化较小,相应的梯度值也较小.一般情况下,图像梯度计算的是图像的边缘信息. ...
- Typescript 学习笔记七:泛型
中文网:https://www.tslang.cn/ 官网:http://www.typescriptlang.org/ 目录: Typescript 学习笔记一:介绍.安装.编译 Typescrip ...
- 吴恩达《机器学习》学习笔记七——逻辑回归(二分类)代码
吴恩达<机器学习>学习笔记七--逻辑回归(二分类)代码 一.无正则项的逻辑回归 1.问题描述 2.导入模块 3.准备数据 4.假设函数 5.代价函数 6.梯度下降 7.拟合参数 8.用训练 ...
- websocket 获取连接id_Swoole学习笔记七:搭建WebSocket长连接 之 使用 USER_ID 作为身份凭证...
Swoole学习笔记七:搭建WebSocket长连接 之 使用 USER_ID 作为身份凭证 2年前 阅读 3678 评论 0 喜欢 0 ### 0.前言 前面基本的WebSocket操作,我们基本都 ...
- ROS学习笔记七:使用rqt_console和roslaunch
ROS学习笔记七:使用rqt_console和roslaunch 本节主要介绍在调试时使用的rqt_console和rqt_logger_level,以及一次性打开多个节点的工具roslaunch. ...
- 【K210】K210学习笔记七——使用K210拍摄照片并在MaixHub上进行训练
[K210]K210学习笔记七--使用K210拍摄照片并在MaixHub上进行训练 前言 K210准备工作 K210如何拍摄照片 准备工作 拍摄相关代码定义 用K210拍摄到的照片在MaixHub平台 ...
- Learning ROS for Robotics Programming Second Edition学习笔记(七) indigo PCL xtion pro live
中文译著已经出版,详情请参考:http://blog.csdn.net/ZhangRelay/article/category/6506865 Learning ROS forRobotics Pro ...
- window的dos命令学习笔记 七
文章目录 一.dos历史学习笔记(后期整合到这里,我想能学到这里的应该不多了,嘿嘿,加油) 二.执行状态返回值(`%errorlevel%`,和shell中`$?`相似): 三.视窗 1.color ...
- ESP32学习笔记(七) 复位和时钟
ESP32学习笔记(七) 复位和时钟 目录: ESP32学习笔记(一) 芯片型号介绍 ESP32学习笔记(二) 开发环境搭建 VSCode+platformio ESP32学习笔记(三) 硬件资源介绍 ...
- 逆向脱壳破解分析基础学习笔记七 堆栈图(重点)
本文为本人 大神论坛 逆向破解脱壳学习笔记之一,为本人对以往所学的回顾和总结,可能会有谬误之处,欢迎大家指出. 陆续将不断有笔记放出,希望能对想要入门的萌新有所帮助,一起进步 堆栈图 首先给定一段反汇 ...
最新文章
- 对.net知识结构相关讲解
- PCI总线和PXI总线的区别
- java getRuntime().exec 带符号的命令 无法执行 解决方法
- ubuntu 以太网已连接但是无法联网_工业以太网有多“牛X”?两个案例告诉你
- IOS-项目中常见文件介绍
- java获取本机所有可用字体
- SpringCloud 配置服务器
- 《vSphere性能设计:性能密集场景下CPU、内存、存储及网络的最佳设计实践》一1.1.4 从默认值开始...
- Ubuntu各版本下载安装知网论文阅读神器CAJViewer,并添加快捷图标启动方式
- java fileupload_java组件fileupload
- U盘文件夹被隐藏,如何让去除文件夹隐藏属性
- 3000款课件培训PPT模板免费下载网站
- 实测 ubuntu 20.04 使用 lidar_imu_calib 功能包 进行 激光雷达与imu标定
- 《禅者的初心》读书笔记(3)
- 【蓝桥杯练习--递归】费解的开关
- Error while Launching activity 解决方案:
- 童玲:蚂蚁金服区块链在真实业务场景的实践与突破
- js 类似发微博或者微信朋友圈的时间显示 刚刚 几天前
- 单点登录、域用户、常规登录、AD域
- FMCW雷达在汽车自适应巡航中的应用(学习摘自MathWorks笔记)
热门文章
- 以太坊 solidity return 返回值写法 3种格式
- 【Django 2021年最新版教程4】为项目添加资源文件(css,js,image)
- arm开发板放张图片动起来_Python与Zynq的桥梁,米尔PYNQ开发板来了
- Java对二维数组排序
- keil4出现目标未被创建_STM32入门系列-创建寄存器模板
- h3c服务器设置u盘引导,H3C FlexServer R390服务器装系统前的准备工作
- python多进程与多线程_第十五章 Python多进程与多线程
- c语言第三章知识点讲解,C语言考试最新知识点总结讲解.doc
- 计算机组成原理——第八章
- 10)Thymeleaf 标记选择器语法