本文是一片学习笔记，记录了解一类一阶微分方程组的方法。

原文DIFFERENTIAL EQUATIONS An Introduction to Modern Methods and Applications第8章(James R. Brannan , William E. Boyce )，内容我直接贴图了。

背景原理部分：Euler's method :

Euler's method 实质上是一种做切线逼近的思维，详细的原文如下

然而这种方法为了更加精确地逼近正确的曲线，就得缩小h的大小，这样效率就降低了，而且误差相对较大，因此我们需要改进这种方法。

2.Improved Euler and Runge–Kutta Methods

详细原文如下

从table8.3.3中可以看出，Euler被优化了很多。

3.有了前面的基础下面就可以看方程组的问题了，以文中二维的为例，在实际运用中可以类推至n个变量。

代码部分

以8.4方程组为例写一段python代码

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

h1 = 0.1

h2 = 0.2

x0 = 2

y0 = -0.5

n1 = 10 #iter

n2 = 10

xp1 = []

yp1 = []

xp2 = []

yp2 = []

'''

Euler Methods

'''

def xt(x,y) :

return 4*y - x

def yt(x,y) :

return x - y

def f(x,y,h,n):

for i in range(0,n):

k = np.array([x,y]) + h*np.array([xt(x,y),yt(x,y)])

x , y = k[0] , k[1]

np.array(xp1.append(x))

np.array(yp1.append(y))

return xp1,yp1

'''

Runge–Kutta Methods (improved from euler , more accuracy and efficiency)

'''

def xn1(x,y): #X(T)’

return xt(x,y)

def xn2(x,y,h):

return xn1(x+0.5*h,y+0.5*h*xn1(x,y))

def xn3(x,y,h):

return xn1(x+0.5*h,y+0.5*h*xn2(x,y,h))

def xn4(x,y,h):

return xn1(x+h,y+h*xn3(x,y,h))

def yn1(x,y): #Y(T)’

return yt(x,y)

def yn2(x,y,h):

return yn1(x+0.5*h,y+0.5*h*yn1(x,y))

def yn3(x,y,h):

return yn1(x+0.5*h,y+0.5*h*yn2(x,y,h))

def yn4(x,y,h):

return yn1(x+h,y+h*yn3(x,y,h))

def g(x,y,h,n):

for i in range(0,n):

k = np.array([x,y]) + h/6*(np.array([xn1(x,y)+2*xn2(x,y,h)+2*xn3(x,y,h)+xn4(x,y,h),yn1(x,y)+2*yn2(x,y,h)+2*yn3(x,y,h)+yn4(x,y,h)]))

x,y = k[0] , k[1]

np.array(xp2.append(x))

np.array(yp2.append(y))

return xp2,yp2

f(x0,y0,h1,n1)

g(x0,y0,h2,n2)

plt.scatter(xp1,yp1,1)

plt.scatter(xp2,yp2,1)

plt.ylabel('Y(T) axis')

plt.xlabel('X(T) axis')

plt.show()