上台阶（初级）

有一楼梯共n级，刚开始时你在第0级，若每次只能跨上一级或二级，要走上第n级，共有多少走法？（练习题NYOJ76）

解决思路（一）

这道题呢有两种思路如果你经验丰富一看就看出来是动态规划了那么就好写了

我们来分析一下动态规划 首先 n=1 只有一种 n=2 有两种这没有疑问

那么我们假设n=10 现在设上到第九层的方法是F(9) 设上到第八层的方法是F(8)

F(9) 种方法和F(8)种方法两者中一定没有重复的因为它们的终点都不同

那么对于第九层来说再走一步就到达第十层那么我们有F(9)种方法到达第九层

每种方法再走一步就到十了所以我们就有F(9)种到达第十层的方法了同理

对于第八层来说我们不能走一级到达9 因为这种情况已经包含在F(9)里面了（仔细想想）

所以只能走两级到达十那么就有F(8)种方法到达十了而F(8) F(9)不重复所以F(8)+F(9)种方法到达十

而再往前 7 6 5...这些都需要先经过8 9 才能到所以都已经包含在F(8) F(9)里了

所以最终结论就是 F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>2) F(1)=1 F(2)=2 ------也就是斐波那契数列

解决思路（二）

如果说你不知道上面的怎么分析，那么也不要紧，因为这个问题也不是特别复杂，n=3 n=4的情况我们是完全可以手算出来的，那么观察规律，很容易就发现这是斐波那契数列了，甚至算出n=3的情况就可以大胆的试斐波那契了。但是要注意下，斐波那契数列到三四十左右就爆long long了。注意范围。

那么，既然找规律这么容易，那我们干嘛还要考虑上面说的动态规划解法呢？

其实呢，上面的动态规划思想很重要，一定要理解，因为题目是活的，我们一定要把原理理解透彻，学会举一反三

才可以更好的应对题目的变式。

上台阶（升级版）

题目

一个台阶总共有n级，如果一次可以跳1级，也可以跳2级......它也可以跳上n级。此时一只青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

解决思路

这下情况变得复杂了，你就不能用上边那个找规律的方法了。

根据上边刚才的分析，我们设跳到一级有F(1)种方法，跳到二级有F(2)种方法.....F(3)...F(4).....

F(1) ..F(2).. F(3).. F(4)...F(n) 这些方法是没有重复的因为终点都不一样

而这次青蛙一次最多可以跳n阶所以不论当前处在哪一阶他都可以一步到达n层

所以青蛙处于1....2...3...4...n-1 时和第一个问题中处于8、9往10跳的情况是一样的

所以我们得到式子 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3).......F(1)

而 F(n-1)=F(n-2)+F(n-3)+F(n-4).......F(1)

两式相减 F(n) - F(n-1)=F(n-1) --------->即F(n)=2*F(n-1) F(1)=1

得到式子答案就出来了，实际做题时候要注意范围和题目要求。

上台阶（变式版）

青蛙抓虫

题目描述

一只青蛙，想要捕食距离它M米处的一只昆虫。
已知青蛙的蛙跳范围为[1, N]之间，单位米（每次蛙跳距离为整数，即[1,N]之间的整数）。青蛙在0的位置，求青蛙跳到M的位置吃到昆虫的方案数。

输入

测试实例包括T组测试数据。(T <= 100)
每组测试数据为两个数字M和N，分别代表青蛙距离昆虫的距离以及蛙跳的最远距离。(0 <= M <= 1000, 0 < N <= 100)

输出

对于每组测试数据，输出青蛙吃到昆虫的方案数。数据过大，结果对1e9+7取余。

样例输入
2
5 1
5 2
样例输出
1
8

上面那个升级版的解法，因为每一个位置都可以到达n 所以 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3).......F(1)

而这个题意变了每次最多跳n 但一共长却是m 其实思路还是原来的思路

对于小于n的位置我们还是原来的求法对于大于n的位置等于的是能跳到他的位置的总和

如图

代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll a[10010];
int main(){int T,m,n;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&m,&n);memset(a,0,sizeof(a));a[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)a[i]=(2*a[i-1])%mod;for(int i=n+1;i<=m;i++){ll sum=0;for(int j=i-n;j<i;j++){sum+=a[j];sum%=mod;}a[i]=sum;}printf("%lld\n",a[m]);}return 0;
}

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