【数据结构笔记15】优先队列、堆、最大堆、堆的操作（插入、删除、建立）与C实现

本次笔记内容：
5.1.1 什么是堆
5.1.2 堆的插入
5.1.3 堆的删除
5.1.4 堆的建立

文章目录

什么是堆（Heap）
- 优先队列（Priority Queue）
- 是否可用二叉树实现？
堆
- 堆得两个特性
- 堆的抽象数据类型描述
- 堆的实现（以最大堆为例）
- 最大堆的创建
- 最大堆的插入
- 最大堆的删除
- 最大堆的建立

什么是堆（Heap）

优先队列（Priority Queue）

特殊的“队列”，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

如果采用数组、链表、有序数组或有序链表实现优先队列：

数组：
- 插入：元素总是插入尾部~o(1)
- 删除：查找最大（或最小）关键字~o(n)；从数组中删去需要移动元素~o(n)
链表：
- 插入：元素总是插入链表的头部~o(1)
- 删除：查找最大（或最小）关键字~o(n)；删去结点~o(1)
有序数组：
- 插入：找到合适的位置~o(n)或o(log2(n))；移动元素并插入~o(n)
- 删去最后一个元素~o(1)
有序链表：
- 插入：找到合适的位置~o(n)；~插入元素
- 删除：删除首元素或最后元素~o(1)

是否可用二叉树实现？

使用二叉搜索树可行么？

要删除（取出）的点（最大、最小），要么在最右边，要么最左边。但是存在一个问题：不断地删除行为使二叉树倾斜。

因此，不采用二叉搜索树。但如果继续采用二叉树结果，应该更关注插入还是删除？

删除，因为删除更难做。
树结点顺序怎么安排？
树结构怎样？

把数据放在二叉树中，组织成：最大的在树根（最大堆），使用完全二叉树。

因此堆的特性：使用完全二叉树存储，任何结点值都比其子树大（小）。

堆

优先队列的完全二叉树表示：

堆得两个特性

结构性：用数组表示的完全二叉树；
有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值（或最小值）
- “最大堆（MaxHeap）”，也称“大顶堆”：最大值
- “最小堆（MinHeap）”，也称“小顶堆”：最小值

堆的例子如上。

堆的抽象数据类型描述

如上图，是堆的对象集、操作集描述。

其中，Insert()和DeleteMax()是难点。

堆的实现（以最大堆为例）

最大堆的创建

typedef struct HeapStruct *MaxHeap;
struct HeapStruct
{ElementType *Elements; /* 存储堆元素的数组 */int Size;              /* 堆的当前元素个数 */int Capacity;          /* 堆的最大容量 */
};MaxHeap Create(int MaxSize)
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */MaxHeap H = malloc(sizeof(struct HeapStruct));H->Elements = malloc((MaxSize + 1) * sizeof(ElementType));H->Size = 0;H->Capacity = MaxSize;H->Elements[0] = MaxData;/* 定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值，便于以后更快操作 */return H;
}

最大堆的插入

如上例图，算法为将新增结点插入到从其父结点到根结点的有序序列中。

void Insert(MaxHeap H, ElementType item)
{/* 将元素item插入最大堆H，其中H->Elements[0]已经定义为哨兵 */int i;if (IsFull(H)){printf("最大堆已满");return;}i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */for (; H->Elements[i / 2] < item; i /= 2)H->Elements[i] = H->Elements[i / 2]; /* 向下过滤结点 */H->Elements[i] = item;                   /* 将item插入 */
}

上述代码中应用到了如下技巧：

H->Element[0]是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素，控制循环结束；
如此，甚至不用添加约束条件i>=1。

插入操作的时间复杂度是树的高度：

T=log2(N)T=log_2(N)T=log2(N)

最大堆的删除

对于堆来讲，删除的元素的是固定的。

取出根结点（最大值）元素，即删除堆的那个结点。

T=log2(N)T=log_2(N)T=log2(N)

经过多次比较后（最左右孩子相比），保证根为最大值，最终结果如下。

实现代码如下：

ElementType DeleteMax(MaxHeap H)
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除 */int Parent, Child;ElementType MaxItem, temp;if (IsEmpty(H)){printf("最大堆已为空");return;}MaxItem = H->Elements[1]; /* 取出根结点的最大值 *//* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */temp = H->Elements[H->Size--];for (Parent = 1; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child){Child = Parent * 2;if ((Child != H->Size) &&(H->Elements[Child] < H->Elements[Child + 1]))Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */if (temp >= H->Elements[Child])break;else /* 移动temp元素到下一层 */H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];}H->Elements[Parent] = temp;return MaxItem;
}

最大堆的建立

将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中。

方法1：通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为O(NlogN)。

方法2：在线性时间复杂度下建立最大堆。
（1）将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性；
（2）调整各结点位置，以满足有序特性。

采用方法2。

从倒数第一个有儿子的结点开始，用Delete()过程的策略，将这个小子树调成堆。依此往上调成堆。

起始点如上图。

然后是30那个点，然后是83那个点。

之所以这么做，是因为使用向下过滤法，必须保证根结点的两个子树都是堆。而对于最小的子树（87-9），9结点单独成树，一定是一个堆，逐渐往上调整。

时间复杂度：O(n)O(n)O(n)，即树中各结点的高度和。

代码来自Feemic：

void PercDown(MaxHeap H, int p)
{ /* 下滤：将H中以H->Element[p]为根的子堆调整为最大堆 */int Parent, Child;ElementType X;X = H->Elements[p]; /* 取出根结点存放的值 */for (Parent = p; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child){Child = Parent * 2;if ((Child != H->Size) && (H->Elements[Child] < H->Elements[Child + 1]))Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */if (X >= H->Elements[Child])break; /* 找到了合适位置 */else       /* 下滤X */H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];}H->Elements[Parent] = X;
}void BuildHeap(MaxHeap H)
{   /* 调整H->Elements[]中的元素，使满足最大堆的有序性  *//* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Elements[]中 */int i;/* 从最后一个结点的父节点开始，到根结点1 */for (i = H->Size / 2; i > 0; i--)PercDown(H, i);
}