2021年泸州市高考三诊成绩查询,2020-2021学年四川省泸州市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析...

当m=﹣2k时，y=kx﹣2k=k(x﹣2)，直线l过定点(2，0)．由右顶点为A(2，0)，则直线l过定点(2，0)不符合题意，当直线的斜率不存在时，也成立．

根据以上可得：直线l过定点，且为(，0)．

21．已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)(其中a＞0，e是自然对数的底数)． (Ⅰ)若关于x的方程f(x)=x﹣x+a有唯一实根，求(1+lna)a的值； (Ⅱ)若过原点作曲线y=f(x)的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：

＜a＜；

(Ⅲ)设g(x)=f(x+1)+e，当x≥0时，g(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】(Ⅰ)设h(x)=lnx﹣x﹣(a﹣)x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值=﹣lna+

﹣1=0；从而求出代数式的值；

(Ⅱ)求出切线l的方程，得到a═的单调性证明即可；

﹣，且lnx1﹣1+﹣=0，令m(x)=lnx﹣1+﹣，根据函数

(Ⅲ)先求出g(x)的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性从而得到答案．

2【解答】解：(Ⅰ)∵f(x)=x﹣x+a，

∴lnx﹣x﹣(a﹣)x=0，

设h(x)=lnx﹣x﹣(a﹣)x，则h′(x)=﹣

，

a＞0时，h(x)在(0，)递增，在(，+∞)递减，则h(x)max=h()=﹣lna+∵h(x)=0有唯一实根， ∴x0=且h(x)max=h()=﹣lna+

﹣1，

﹣1=0；

故1+lna=，∴(1+lna)a=；

(Ⅱ)证明：∵过原点所作曲线y=f(x)的切线l与直线y=﹣ex+1垂直， ∴切线l的斜率为k=，方程是y=x，设l与y=f(x)的切点为(x1，y1)，

∴，

∴a=﹣，且lnx1﹣1+﹣=0，

令m(x)=lnx﹣1+﹣，则m′(x)=﹣+，

∴m(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增，

若x1∈(0，1)，∵m()=﹣2+e﹣＞0，m(1)=﹣＜0， ∴x1∈(，1)，而a=

﹣在x1∈(，1)递减，

∴＜a＜，

若x1∈(1，+∞)，∵m(x)在(1，+∞)递增，且m(e)=0，则x1=e， ∴a=

﹣=0(舍)，

综上：＜a＜；

(Ⅲ)∵g(x)=f(x+1)+e=ln(x+1)﹣ax+e， ∴g′(x)=

﹣a+e，g″(x)=

≥0，

①0＜a≤2时，∵g′(x)在[0，+∞)递增， ∴g′(x)≥g′(0)=2﹣a≥0，

∴g(x)在[0，+∞)递增，g(x)≥g(0)=1恒成立，符合题意， ②a＞2时，∵g′(x)在[0，+∞)递增，g′(0)=2﹣a＜0，则存在x0(0，+∞)，使得g′(x0)=0，

∴g(x)在(0，x0)递减，在(x0，+∞)递增，又x∈(0，x0)时，g(x)＜g(0)=1， ∴g(x)≥1不恒成立，不合题意，综上，所求实数a的范围是(0，2]．

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