不同路径（I和II）--动态规划

这里，我们将遇到两类不同路径的问题，第一类不考虑障碍物，第二类考虑障碍物。

1. 不考虑障碍物

问题来源：不同路径I
问题描述：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？
示例：
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

向右 -> 向右 -> 向下
向右 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向右

class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:# 记d(i, j)为(i+1)X(j+1)网格中总路径数# d(i, j) = d(i-1, j) + d(i, j-1)# d(0, j) = 1; d(i, 0) = 1# 构建二维矩阵d(i, j)d = [[0 for j in range(n)] for i in range(m)]# 动态规划for i in range(m):for j in range(n):# 边界条件if i == 0 or j == 0: d[i][j] = 1# 转移方程else:d[i][j] = d[i-1][j] + d[i][j-1]# 返回值return d[m-1][n-1]

2. 考虑障碍物

问题来源：不同路径II
问题描述：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例：
输入:
[
[0,0,0],
[0,1,0],
[0,0,0]
]
输出: 2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

class Solution:def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:# 如果开始位置为障碍物，则无路径if obstacleGrid[0][0] == 1: return 0# 如果目标位置为障碍物，则无路径if obstacleGrid[-1][-1] == 1: return 0# 定义状态：d(m-1, n-1)为m*n网格的路径总数# 状态转移：# 如果左边和上边都是障碍物，则d(i, j) = 0# 如果左边是障碍物，则d(i, j) = d(i-1, j)# 如果上边是障碍物，则d(i, j) = d(i, j-1)# 如果左边和上边都没有障碍物，则d(i, j) = d(i-1, j) + d(i, j-1)# 边界条件：# 如果i=0，若左边是障碍物，则d(i, j) = 0；若左边没有障碍物，则d(i, j)=d(i, j-1)# 如果j=0，若上边有障碍物，则d(i, j) = 0; 若上边没有障碍物，则d(i, j)=d(i-1, j)m = len(obstacleGrid) # 行数n = len(obstacleGrid[0]) # 列数# 定义二维矩阵d = [[-1 for j in range(n)] for i in range(m)]for i in range(m):for j in range(n):# 边界条件## 起始点默认为1条路径到达if i == 0 and j == 0:d[i][j] = 1## 如果在第一行elif i == 0:if obstacleGrid[i][j-1] == 1:d[i][j] = 0else:d[i][j] = d[i][j-1] ## 如果在第一列elif j == 0:if obstacleGrid[i-1][j] == 1:d[i][j] = 0else:d[i][j] = d[i-1][j]# 状态转移else:## 如果上边和左边都是障碍物if obstacleGrid[i-1][j] == 1 and obstacleGrid[i][j-1] == 1:d[i][j] = 0## 如果只有上边是障碍物elif obstacleGrid[i-1][j] == 1:d[i][j] = d[i][j-1]## 如果只有左边是障碍物elif obstacleGrid[i][j-1] == 1:d[i][j] = d[i-1][j]## 如果左边和上边都没有障碍物else:d[i][j] = d[i][j-1] + d[i-1][j]return d[m-1][n-1]

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