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DVD在线租赁问题

摘要

本文研究了DVD在线租赁问题，根据题设建立了一系列的整数规划模型，利用了lingo软件成功实现了求解过程。

对于题设问题一，根据一个月和三个月不同的要求，分别建立了以购买DVD总量最小为目标的整数规划模型(一)和模型(二)，利用lingo软件对模型(一)进行求解，其结果为DVD总的购买量为：13475 张，各种 DVD的购买量详见正文表一；同样利用利用lingo软件对模型(二)进行求解，其结果为DVD总的购买量为：8540 张，各种 DVD的购买量详见正文表二。

对于题设问题二，我们首先定义了会员的满意度，建立了以所有会员的总体满意度最大为目标的0-1整数规划模型(三)，先用Matlab软件对数据作了处理，然后用lingo软件对模型编程求解得到了如下结果：会员的最大满意度为：57.82%，具体分配方案详见正文表三。

对于题设问题三，我们建立了一个以会员满意度最大为首要目标，以DVD的总的购买量最小为次要目标的双目标整数规划模型(四)，用求解多目标规划的分层序列法，把这个双目标整数规划模型转化为两次单目标整数规划模型求解，利用lingo软件编程求解得到了如下结果：会员最大满意度为：76.36%, DVD总的购买量为4710 张，各种DVD的购买量详见正文表四。

对问题四，主要考虑网站的经济利益，先定义了会员的总体受益度，建立了以网站经济利益最大为首要目标，以会员总体受益度为次要目标的双目标的整数规划模型(五)，同样转化为两次单目标整数规划求解，根据我们设定的参数求解出网站的最大收益为：58820 元，会员最大受益度为75.718%。

本文的模型的求解方法，均可由Matlab和lingo软件成功实现，因此本文模型即求解方法具有可操作性。

关键词：DVD在线租赁 分配方案 满意度 整数规划模型 总体受益度

问题重述

当今是信息高速发展的时代，网络已逐渐融入人们的工作与生活。DVD在线租赁服务，具有成本相对低廉，租赁方便等诸多优点，在人们生活中现已广泛使用这种方式，因而对DVD在线租赁问题的研究具有很强的现实意义。

考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回(邮费由网站承担)，就可以继续下次租赁。

我们要做的是：

1.网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数(表1给出了其中5种DVD的数据)。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，求出至少准备的DVD数量，保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。

2.表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单, 对这些DVD进行分配，使会员获得最大的满意度。

3. 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。作为网站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

4.作为网站经营管理人员，在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？提出的问题，并建立相应的数学模型。

(其中的表1,表2见题中所给附表)

二、符号约定

第个会员得到第种DVD的满意度

所有会员对所有租到的DVD的总体满意度

为0-1变量，其取值为1时表示第个会员得到第种DVD，当第个会员未得到第种DVD取值其0

问题2中第种DVD的现有量

为0-1变量，其取值为1时表示第个会员租两次获得6张DVD；其取值为0表示第个会员租一次得3张DVD

为0-1变量，其取值为1时表示第个会员至少获得1张DVD；其取值为0时表示第个会员没有获得DVD

表示第个会员在订单中给第张DVD赋予的数字

表示第种DVD的会购买量

表示所有会员对第种DVD的需求量

题给表一中愿意租赁的第种DVD总人数

表示第种DVD一个月出租一次的张数

表示第种DVD一个月出租两次的张数

表示第一问中第种DVD在第月出租一次的张数

表示第一问中第种DVD在第月出租两次的张数

表示第种DVD网站应该准备的张数

表示在研究期内会员能看到他想看的DVD会员占总会