假设检验3- 卡方分布

前言：

一卡方分布

二双边假设检验

三单边假设检验

四例子

一卡方分布

n 个随机变量均符合标准正态分布，则其平方和符合自由度为n的卡方分布

$\chi(n)=\sum_i^n x_i^2$

重要性质

$\chi(n-1)=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

二双边检验

2.1 假设

$H_0: \sigma^2=\sigma_0^2, H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$

2.2 统计量

$\chi^2(n-1) = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

2.3 拒绝域

k1 =chi2.ppf(alpha/2) k2=chi2.ppf(1-alpha/2)

$\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\leq k_1 ,or \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \geq k_2$

其中： k1 可以通过

P值法

$p=\begin{Bmatrix} \chi^2 \leq & \chi_0^2(n-1) \end{Bmatrix}$

$\chi_0^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$

由于是双边检验

P_= 2*min(p,1-p)

三单边检验

小写的s是样本方差

1：左边检验

1.1 假设 $H_0: \sigma^2=\sigma_0^2 ; H_1: \sigma^2 \leq \sigma_0^2$

1.2 统计量

$Z= \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$

1.3 拒绝域

$P=P_{H_0}\begin{Bmatrix} {\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}} \leq {\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}} \end{Bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} -\infty,\chi^2_{\alpha}(n-1) \end{bmatrix}$

这里分位数代表下分位数，如果是上分位数写法为 $1-\alpha$

1.4 P值法

$P=P_{H_0}\begin{Bmatrix} {\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}} \leq {\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}} \end{Bmatrix}$

2：右边检验

2.1 假设

$H_0: \sigma^2 =\sigma_0^2 ; H_1: \sigma^2 \geq \sigma_0^2$

2.2 统计量

$Z= \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$

2.3 拒绝域

$=\begin{bmatrix} \chi_{1-\alpha}(n-1),\infty \end{bmatrix}$

这里分位数代表下分位数，如果是上分位数写法为 $\alpha$

2.4 P值法

$P_{-}=P\begin{Bmatrix} \chi^2(n-1) \geq \chi_0^2(n-1) \end{Bmatrix}$

四例子：

4.1

解：

这是左边检验

step1 $H_0: \sigma^2=\sigma_0^2 ; H_1: \sigma^2 \leq \sigma_0^2$

step2 :统计量

$Z= \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$

统计量 14.57

step3: 在置信度为0.05，自由度为 24 情况下

分位数 13.848

step4

原假设成立

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Jul 31 10:26:06 2021@author: chengxf2
"""
import numpy as np
from scipy.stats import chi2
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.preprocessing import StandardScaler'''
统计量
argsdf: 自由度s: 样本方差sigma: 方差
'''
def GetZ(df,s,sigma):z = df*s/sigmareturn zdef GetQ(alpha, df):q = chi2.ppf(alpha,df)# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Jul 31 10:26:06 2021@author: chengxf2
"""
import numpy as np
from scipy.stats import chi2
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.preprocessing import StandardScaler'''
统计量
argsdf: 自由度s: 样本方差sigma: 方差
'''
def GetZ(df,s,sigma):z = df*s/sigmareturn zdef GetQ(alpha, df):q = chi2.ppf(alpha,df)return q
if __name__=="__main__":n= 25s= 4.25df = n-1sigma = 7alpha = 0.05z = GetZ(df,s,sigma)q =GetQ(alpha, df)print("\n 统计量 %5.2f"%z,"\t 分位数 %5.3f "%q)if z>q:print("\n 原假设成立 ")else:print("\n 拒绝原假设")return q
if __name__=="__main__":n= 25s= 4.25df = n-1sigma = 7alpha = 0.05z = GetZ(df,s,sigma)q =GetQ(alpha, df)print("\n 统计量 %5.2f"%z,"\t 分位数 %5.3f "%q)if z>q:print("\n 原假设成立 ")else:print("\n 拒绝原假设")

4.2 鸢尾花数据集种，每个维度归一化后，其平方和可以假设符合卡方分布

检验临界值法和P值法效果是否一样，找出分布异常的点。

解：

通过代码，其效果完全一致。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Jul 30 16:39:08 2021@author: chengxf2
"""import numpy as np
from scipy.stats import chi2
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.preprocessing import StandardScaler'''
检验：
argsx_std: 每一列的数据都是标准的正太分布
'''def check(x_std, alpha=0.01):if alpha > 0.5:print("\n ========error=========")returnm, n = np.shape(x_std)df = n  # 自由度low = chi2.ppf(alpha/2, df)  # 左边拒绝域up = chi2.ppf(1-alpha/2, df)  # 右边拒绝域for i in range(m):x = x_std[i]  # 样本a = np.power(x, 2)  # 样本平方b = np.sum(a)  # 随机变量的平方和符合卡方分布# p = 2*chi2.sf(b,df) #1-CDF 累计积分 ,双边分布的p值法p = chi2.cdf(b, df)p_ = 2 * min(p, 1.0-p)bReject_p = FalsebReject_N = Falseif p_ < alpha:bReject_p = Trueif b < low or b > up:bReject_N = Trueif bReject_p != bReject_N:print("\n P值法    %4.3f  i: %d " % (p, i))'''
标准化
Argsdata：   数据集returnx_std: 样本标准化后的情况u: 每个维度的均值std: 每个维度的无偏标准差ddof = 0(n无偏);1(n-1)
'''def standardization(data):#x_std = StandardScaler().fit_transform(data)scaler = StandardScaler().fit(data)x_std = scaler.transform(data)print("\n data ", np.shape(x_std))u = scaler.mean_sig = scaler.scale_#print("\n 维度均值: ", u, "\t 维度方差 ", sig)'''m, n = np.shape(data)for i in range(n):x = data[:, i]u = np.mean(x)sigma = np.std(x,ddof=0)print("\n i %d  u: %5.2f  sigma %5.3f" % (i, u, sigma))'''return x_std, u, sig'''均值方差归一化 Standardization加载数据集
ArgsNoneiris: ['target_names', 'data', 'target', 'DESCR', 'feature_names']
return'''def LoadData():data = load_iris()feature = data['data']m, n = np.shape(feature)return featureif __name__ == "__main__":data = LoadData()x_std = standardization(data)check(x_std[0], 0.01)

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