蒟蒻的笔记本二、tarjan

diker

tarjan好神奇啊。

一、最大强连通分量问题

1、一些定义：

<1>强连通：在有向图G中，设有两个点u、v，发现由u有一条路可以到v，由v也有一条路可以到u，则u、v强连通。

<2>强连通图：每两个点都强连通的有向图叫强连通图。

<3>强连通分量：有向图的极大强连通子图。

2、思路：
当在一个有向图中找到了一条从u到u的回路，则在该路径上的所有点和u可以构成一个强连通子图，因为环上任意两点都可以互相到达，那么所有从u到u的回路上的所有点和u构成一个强连通分量。 （personal view）

3、算法：最简单的想法是dfs找回路，记录路径上的点，但图太大时时间空间上不够，需要加一些优化。tarjan算法就是基于dfs，使用栈，标记数组等来进行优化，使得时间复杂度在O(n)。

用到的两个辅助数组：

dfn[u]：记录点u是第几个遍历到的（只是标记遍历先后顺序）【时间戳】因为回路上的点本来是没有顺序可言的，dfn人为加了一个顺序。

low[u]：记录点u所在回路中可以到达的点中最小的时间戳
用栈储存强联通分量，时间戳越小越早入栈。

用vis[u]数组来记录u是否在栈中。

算法的具体步骤：

tarjan(u){//当遍历到u点时dfn[u]=low[u]=++ind;//先初始化u点的dfn和low都等于当前的时间戳s.push(u);//将u压进栈vis[u]=1;//标记u在栈中for(v:Edge(u)){//搜索u可以到达的所有点vif(!dfn[v]) tarjan(v);//如果v点还没有被遍历过，遍历v点if(vis[v]) low[u]=min(low[u],low[v]);//如果v点还在栈中，更新low[u]的值//因为如果v还在栈中则代表v在u的一条回路上，那么v可以到达的最早遍历的点（low[v]）u点也可以到达//所以low[u]在low[u]、low[v]中取一个最小的//而如果v已经不在栈中了，说明v点到不了v点之前的任何点了，已经找完了v点的所以回路并且都已出栈}if(low[u]==dfn[u])//u所能到达的最早遍历的点就是u本身，而且u的回路全部都搜索完了//那么u点及栈中在u点上（比u后入栈）的点构成一个极大强连通分量do{vis[s.top()]=0;//标记不在栈中了s.pop();//出栈}while(vis[u]);//直到u点出栈为止//如果low[u]!=dfn[u]，代表u是dfn[]==low[u]的点的回路上的一点，而这个点还没有拓展完所有回路
}

T1：洛谷P1726 上白泽慧音
题目链接
题目描述
在幻想乡，上白泽慧音是以知识渊博闻名的老师。春雪异变导致人间之里的很多道路都被大雪堵塞，使有的学生不能顺利地到达慧音所在的村庄。因此慧音决定换一个能够聚集最多人数的村庄作为新的教学地点。人间之里由N个村庄（编号为1…N）和M条道路组成，道路分为两种一种为单向通行的，一种为双向通行的，分别用1和2来标记。如果存在由村庄A到达村庄B的通路，那么我们认为可以从村庄A到达村庄B，记为(A,B)。当(A,B)和(B,A)同时满足时，我们认为A,B是绝对连通的，记为<A,B>。绝对连通区域是指一个村庄的集合，在这个集合中任意两个村庄X,Y都满足<X,Y>。现在你的任务是，找出最大的绝对连通区域，并将这个绝对连通区域的村庄按编号依次输出。若存在两个最大的，输出字典序最小的，比如当存在1,3,4和2,5,6这两个最大连通区域时，输出的是1,3,4。
输入格式：
第1行：两个正整数N,M
第2…M+1行：每行三个正整数a,b,t, t = 1表示存在从村庄a到b的单向道路，t = 2表示村庄a,b之间存在双向通行的道路。保证每条道路只出现一次。（N <= 5000且M <= 50000）
输出格式：
第1行： 1个整数，表示最大的绝对连通区域包含的村庄个数。
第2行：若干个整数，依次输出最大的绝对连通区域所包含的村庄编号。

裸的求最大强连通分量的题（最适合我这种菜鸡练手了）
代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <stack>
#define LL long long
#define _for(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define for_(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
using namespace std;
const int maxn = 5e3+5;
const int maxm = 5e4+5;
int n,m,cnt,head[maxn],net[maxm],e[maxm];
int vis[maxn],dfn[maxn],low[maxn],tar[maxn],ma,mark,ind,mi,mar;
stack<int> s;
void add_edge(int u,int v){//邻接表存图  e[++cnt]=v;  net[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
void tarjan(int u){dfn[u]=low[u]=++ind;s.push(u);vis[u]=1;for(int i=head[u];i;i=net[i]){if(!dfn[e[i]]) tarjan(e[i]);if(vis[e[i]]) low[u]=min(low[u],low[e[i]]); }if(low[u]==dfn[u]){mark++;//mark强连通分量编号int tcnt=0;//当前强连通分量包含的点数do{tar[s.top()]=mark;//tar[i]代表i是编号为tar[i]的强连通分量的点vis[s.top()]=0;s.pop();tcnt++;}while(vis[u]);if(tcnt>ma||(tcnt==ma&&u<mi)){ma=tcnt;//最大强连通分量包含的点数mi=u;//最大强连通分量包含的点中最小的点mar=mark;//最大强连通分量的编号}}
}
int main(){cin>>n>>m;int u,v,t;_for(i,1,m){cin>>u>>v>>t;add_edge(u,v);if(t==2) add_edge(v,u);}mi=n;_for(i,1,n){if(!dfn[i]) tarjan(i);}int kase=0;cout<<ma<<"\n";_for(i,1,n){if(tar[i]==mar){if(kase) cout<<" ";else kase++;//控制输出格式cout<<i;}}return 0;
}

二、割点、割边（桥）

割点： 对于一个连通的无向图，删去某一个点（连同与改点相连的边）后，图变得不连通了，该点就为一个割点。

方法是使用tarjan算法：
dfn[u]记录点u是第几个遍历到的，low[u]记录点u所在回路中可以到达的点中最小的时间戳。

假设dfs到u时，u存在一条边可以到达v，而v能到达的最早的点的时间戳比u的时间戳要大或等于（即low[v]>=dfn[u]），那么删去后，就存在包括v在内的一个联通块与u点前面一部分不联通，整个图就不联通了。
但是存在一个特殊情况：u的前面没有点，也就是说u是第一个遍历到的。这种情况下，如果存在两个以上的点满足low[v]>=dfn[u]（v是与u相连的点），那么删去u以后图是不联通的。

具体步骤：

isc[maxn];//标记点是否为割点
cnt=0;//记录根结点分支数
tarjan(u,rt){//当遍历到u点时,rt点前联通块的根（最新遍历的点）dfn[u]=low[u]=++ind;//先初始化u点的dfn和low都等于当前的时间戳for(v:Edge(u)){//搜索u可以到达的所有点vif(!dfn[v]){tarjan(v,rt);//如果v点还没有被遍历过，遍历v点low[u]=min(low[u],low[v]);//更新low[u]的值if(u==rt) cnt++;if(low[v]>=dfn[u]&&u!=rt) isc[u]=1;//u是割点}low[u]=min(low[u],dfn[v]);//更新low[u]}if(u==rt&&cnt>=2) isc[u]=1;//根结点的特判
}

割边（桥）： 对于一个连通的无向图，删去某一条边后，图变得不连通了，该点就为一个割点。

同样用的tarjan算法，套用上面割点的模板，把 low[v]>=dfn[u] 条件判断的等号去掉（low[v]>dfn[u]），记录边的编号就可以了。（如果用的链表形式的邻接表那么记录边的编号就灰常方便了）

三、双连通分量

点双连通： 若一个无向图中的去掉任意一个节点都不会改变此图的连通性，即不存在割点，则称作点双连通图。

边双连通： 若一个无向图中的去掉任意一条边都不会改变此图的连通性，即不存在割边（桥），则称作边双连通图。

点（边）连通图、点（边）连通分量和上面的强连通图、强连通分量类似。

TBC…