本蒟蒻对于二分图一些定理的理解

先给出一些定理 (常识)

1.对于一个无向图 G，若 G 中的所有回路长度均为偶数，则G为一个二分图。
2.二分图的最小点覆盖 = 最大匹配数。
3.二分图的最大独立集 = n-最小点覆盖 = n-最大匹配数。
4.二分图中最小边覆盖 = 最大独立集
5.最大匹配数 = 左边匹配点 + 右边未匹配点。

一 二分图是什么

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设 \(G=(V,E)\) 是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集 \((A,B)\)，并且图中的每条边 \(（i，j）\) 所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集 \((i \in A,j \in B)\)，则称图G为一个二分图。

以上内容摘自百度百科。

翻译成人话就是一张无向图，如果能将它的点集分为两个，且每个点集内部没有边相连，只有两点集间有边相连，那么它就是一个二分图。

二 二分图的判定

（1）证明

那么为啥说

1.对于一个无向图 \(G\)，若G中的所有回路长度均为偶数，则 \(G\) 为一个二分图。

我们有如下的证明：（以下内容参照百度百科）

不妨设两个点集分别为 \(X\) 和 \(Y\)

1.必要性

\(\because\) 点集内部没有边

\(\therefore\) 对于 \(G\) 中的一个长度为 \(n\) 的回路 \(Z=(a_1,a_2,...a_n) (a_n==a_1)\) 其顶点一定在 \(X 和 Y\) 中交替出现，所以点数一定为偶数。

又 \(\because Z\) 为回路，所以其中每个点均连接两条边，即边数等于点数，所以边数为偶数。

2.充分性

现在我们有一个联通的无向图 \(G=(V,E)(V为点集，E为边集)\) ，且 \(G\) 中任意回路长度为偶数。那么我们证明其能分为两个点集，且点集内部无边。

我们从 \(V\) 中选出一个点 \(V_0\) ，然后我们设：

\(X=\{v|v==v_0 || dis(v,v_0)\&1==0\}\)

\(Y=V-X\)

显然 \(X\) 不为空。又 \(\because |V| >= 2\) 所以 有与 \(v_0\) 相连的点，所以 \(Y\) 不为空。

我们设边 \((u,v)\) 的两点都在 \(X\) 中，那么 \(dis(u,v_0)==dis(v,v_0)==2*k\) 而 \(dis(u,v)==1\)，所以可以找到一个从 \(v_0\) 到 \(v_0\) 的奇数长度的回路，与题设矛盾。\(\therefore (u,v)\) 不会都在 \(X\) 中。

同理设边 \((u,v)\) 的两点都在 \(Y\) 中，那么 \(dis(u,v_0)==dis(v,v_0)==2*k+1\) 而 \(dis(u,v)==1\)，所以可以找到一个从 \(v_0\) 到 \(v_0\) 的奇数长度的回路，与题设矛盾。\(\therefore (u,v)\) 不会都在 \(Y\) 中。

综上所述，原命题得证。

（2）算法

通过上面的论证，我们很容易得出一个判定二分图的算法（染色法）：

①任选一个点染色

②将所有与她相连的点染为相反的颜色

③若有一个点已经染色且与当前定点颜色相同，则G不为二分图

三 二分图的匹配

要提到后面四个定理的话，就必须说一说二分图的匹配。

（1）定义

对于 \(G\) 中的一个边的集合 \(M\) ，若M中的所有点均只与一条M中的一条边相连，则 \(M\) 为 \(G\) 的一个匹配，其中边数最大的 \(M\) 为二分图的最大匹配。

说人话：就是选出一些边，使得任意两边没有公共顶点。

（2）最大匹配

如题，就是匹配数最大的匹配。

<1> 求法

1. 匈牙利算法

每次从一个未匹配点出发，走一条 非匹配边，匹配边...非匹配边的交错路，如果走到了一个未匹配点，那么就找到了一条增广路，将增广路上的匹配边与非匹配边互换，则匹配数加一。

2.最大流

从S向左边的点连一条流量为1的边，左边的点向右边连容量为1的边，右侧的点向T连一条1的边，那么跑出来的最大流为最大匹配数。

<2> 性质

2.二分图的最小点覆盖 = 最大匹配数。

3.二分图的最大独立集 = n-最小点覆盖 = n-最大匹配数。

5.最大匹配数 = 左边匹配点 + 右边未匹配点。

四 蒟蒻关于先前定理的理解

以下内容参照这篇文章

开始前先讲一下概念：

1.最大匹配：见前方二分图的匹配。
2.最小点覆盖：用最少的点，让图中每条边都至少和其中一个点关联。
3.最大独立集：从图中选出一些点，使得其两两间无边的所能选出的最多的点。
4.最小边覆盖：用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)(这里是二分图) G 的所有顶点。

定理1：

对于一个无向图 \(G\)，若 \(G\) 中的所有回路长度均为偶数，则 \(G\) 为一个二分图。

见前方二分图的判定。

定理2：

二分图的最小点覆盖 = 最大匹配数。

To be continued