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前言

Bellman-Ford算法，限于资料匮乏和时间复杂度比Dijkstra算法高，包括白书在内的很多资料，都没说得太明白。对于优化后的SPFA算法也没有提及。

而且最短路问题通常是作为图论的入门问题，学习者通常没有图论基础，不知道图论的一些基本常识，看已有的资料很容易产生疑惑。其实，从Bellman-ford算法优化到SPFA算法实际上是顺理成章的。

本文旨在阐明这两个算法思想和步骤，如果有什么晦涩或者疏漏之处在所难免，烦劳读者们指出。

Bellman-Ford算法有什么用

Bellman-Ford算法是用来解决单源最短路问题的。

在现实生活旅游途中，我们通常想知道一个景点到其他所有景点的最短距离，以方便我们决定去哪些比较近的景点。而这时候，Bellman-Ford算法就有用了。

Bellman-Ford算法的优点是可以发现负圈，缺点是时间复杂度比Dijkstra算法高。

而SPFA算法是使用队列优化的Bellman-Ford版本，其在时间复杂度和编程难度上都比其他算法有优势。

算法流程

(1)初始化：将除起点s外所有顶点的距离数组置无穷大 d[v] = INF, d[s] = 0

(2)迭代：遍历图中的每条边，对边的两个顶点分别进行一次松弛操作，直到没有点能被再次松弛

(3)判断负圈：如果迭代超过V-1次，则存在负圈

我们用距离数组d[i]来记录起点s到点i的最短距离。

看了上面的算法流程，通常我们会有四个问题：

1. 什么是松弛操作

2. 迭代多少次？

3. 迭代的实际意义是什么？

4. 为什么迭代超过v-1次就存在负圈？

直观理解松弛操作

如图，假设选取边<3,4>来进行松弛操作，那么进行两次如下操作(w为边权)：

d[3] = min(d[3], d[4]+w) // 对点3

d[4] = min(d[4], d[3]+w) // 对点4

这样做的目的是让距离数组d尽量的小。

而每一次让d[i]减小的松弛操作，我们都称其“松弛成功”。

而实际中，我们使用的松弛操作可以是选取一条边，也可以是从一个点from到另一个点to。后者对应的松弛操作为：

d[to] = min(d[to], d[from] + w)

从最短路的角度来讲，如果对点3的松弛操作成功，意味着从s到4再从4到3这条路比其他从s到3的路都短，距离数组中的d[3]就是目前起点到点3的最短距离。

我们可以总结为：每一次成功的松弛操作，都意味着我们发现了一条新的最短路。

直观理解迭代

第二第三个问题实际上都是同一个问题：迭代的实际意义是什么？

这里我先给出迭代的定义：每次都遍历图中的所有边，对每条边(的两个端点)都进行松弛操作。

下面，我们以上图中的点和边为例，讲清楚迭代的实际意义：

第一次迭代

我们很轻易的就找到了两点对应的最短路。

第二次迭代

我们又找到了新的三个点对应的最短路。

从这次迭代中，我们可以发现一个定理:只有上一次迭代中松弛过的点才有可能参与下一次迭代的松弛操作。

这里的“参与”指让邻点距离数组d[i]改变。

这个定理很容易理解，如果两个点的距离数组d[i]在上一次迭代后没有改变，那么这次也不会改变。只有上一次改变了的点才会影响周围的点。

第三次迭代

这次的示意图比上两次都要复杂许多，我给每条边都标注上了权值，不同迭代中改变过值的点也用不同颜色标注了出来。每条松弛过的边我也标注了出来。

我们重点注意边<3,4>中的点3被松弛了，图中标注为一条虚线。

回忆一下前面的内容，这意味着，我们发现了点3新的最短路，这个最短路经历了3条边。

这里揭示了迭代的实际意义：每次迭代k，我们找到了经历了k条边的最短路。

值得注意的是，在迭代还没结束时的最短路不一定是最终的最短路。有可能最终的最短路经历的边很多，但每条边的权值很小，比经历边少的路线距离更短。

第四次迭代

第五次迭代

第六次迭代

注意到没有点能够被松弛，根据之前发现的定理“只有上一次迭代中松弛过的点才有可能参与下一次迭代的松弛操作”，因为不再存在能够被松弛的点了，迭代结束。

总结定理一：只有上一次迭代中松弛过的点才有可能参与下一次迭代的松弛操作

迭代的实际意义：每次迭代k中，我们找到了经历了k条边的最短路。

“没有点能够被松弛”时，迭代结束

根据定理一“只有上一次迭代中松弛过的点才有可能参与下一次迭代的松弛操作”，似乎算法中遍历每条边的做法比较菜，我们只需要考虑那些被成功松弛的点的邻点不就好了吗？答案是肯定的。我们可以简单地通过一个队列来维护这些被成功松弛的点，这个小小的改进可以带来巨大加速，改进之后的算法被称为SPFA。

直观理解负圈

符合常识地，有定理二：如果在边权都为正的图中，最短路一定是一条路径，而不是一个圈，且长度不会大于等于V

拓展到存在负边权的图中，有定理三：对于存在负圈的图，最短路无意义

定理四：对于不存在负圈的图，最短路一定是一条路径，且长度不会大于等于V

如图所示，因为有边长为1、-2、-1的负圈存在，起点到其余所有点的距离都是-INF，因为到其余所有点的路上都可以经过这个负圈无穷次，这时候最短路没有意义。

对于Bellman-Ford算法，因为一个最短路如果不存在负圈的话，不会经历超过V-1条边，所以假如迭代次数大于等于V，就存在负圈。

Note：网上很多代码没有理解每次迭代的意义，采用每个节点的入队次数来判断负圈，当然也是可以，但是大大增加了运行时间。

写在最后

在SPFA的基础上，我们或许还能进行一些优化，比如参考文献表中的SLF和LLL，这里我就不多提了，有兴趣可以看一下，就一两行代码的事。

希望大家看完本文能够完全理解SPFA。

Bellman-ford实现代码

因为这道题点比较少，就使用了邻接矩阵来储存图。实际上，用得比较多的储存方法是邻接表和前向星，有兴趣了解的戳——“浅谈图的组织(邻接表、前向星)”【TBC】

SPFA实现代码

题目总结POJ 3259

有重边，使用邻接矩阵要注意。算法本身不在乎重边的情况，使用邻接表的话，对于虫洞直接添加一条新的边即可

POJ 1860

参考文献