概率论中PDF、PMF和CDF的区别与联系

在概率论中，经常出现PDF、PMF和CDF，那么这三者有什么区别与联系呢？

1. 概念解释

PDF：概率密度函数（probability density function）, 在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。
PMF : 概率质量函数（probability mass function), 在概率论中，概率质量函数是离散随机变量在各特定取值上的概率。
CDF : 累积分布函数 (cumulative distribution function)，又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。

2. 数学表示

2.1 PDF

如果XX是连续型随机变量，定义概率密度函数为fX(x)fX(x)，用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率，即

2.2 PMF

如果XX离散型随机变量，定义概率质量函数为fX(x)fX(x),PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律,即

比如对于掷一枚均匀硬币，如果正面令X=1X=1，如果反面令X=0X=0，那么它的PMF就是

2.3 CDF

不管是什么类型（连续/离散/其他）的随机变量，都可以定义它的累积分布函数，有时简称为分布函数。

对于连续型随机变量，显然有：
FX(x)=Pr(X≤x)=∫−∞xfX(t)dtF_X(x)=Pr(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f_X(t) dtFX(x)=Pr(X≤x)=∫−∞xfX(t)dt
那么CDF就是PDF的积分，PDF就是CDF的导数。
对于离散型随机变量，其CDF是分段函数，比如举例中的掷硬币随机变量，它的CDF为:
FX(x)=Pr(X≤x){0ifx<012if0≤x<11ifx≥1F_X(x)=Pr(X\leq x)\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & & {if \ \ \ x <0 }\\ \frac{1}{2} & & {if \ \ \ 0\leq x<1}\\ 1 & & {if\ \ \ x\geq 1}\\ \end{array} \right. FX(x)=Pr(X≤x)⎩⎨⎧0211if x<0if 0≤x<1if x≥1

3.概念分析

根据上述，我们能得到以下结论：

PDF是连续变量特有的，PMF是离散随机变量特有的；
PDF的取值本身不是概率，它是一种趋势（密度）只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率，也就是说对于连续值确定它在某一点的概率是没有意义的；
PMF的取值本身代表该值的概率。

4.分布函数的意义

我们从两点来分析分布函数的意义：

4.1 为什么需要分布函数？

对于离散型随机变量，可以直接用分布律来描述其统计规律性；而对于连续型随机变量(非离散型的随机变量)，我们无法一一列举出随机变量的所有可能取值，所以它的概率分布不能像离散随机变量那样用分布律进行描述。于是引入PDF，用积分来求随机变量落入某个区间的概率。

分布律(PMF)不能描述连续型随机变量，密度函数(PDF)不能描述离散随机变量，因此需要找到一个统一方式描述随机变量统计规律，这就有了分布函数。

另外，在现实生活中，有时候人们感兴趣的是随机变量落入某个范围内的概率是多少，如掷骰子的数小于3点的获胜，那么考虑随机变量落入某个区间的概率就变得有现实意义了，因此引入分布函数很有必要。

4.2 分布函数的意义

分布函数F(x)F(x)F(x)在点xxx处的函数值表示XXX落在区间(−∞,x](−\infty,x](−∞,x]内的概率，所以分布函数就是定义域为RRR的一个普通函数，因此我们可以把概率问题转化为函数问题，从而可以利用普通的函数知识来研究概率问题，增大了概率的研究范围。

5.参考文献

概率中的PDF，PMF，CDF
http://www.dataguru.cn/thread-150756-1-1.html
https://www.zhihu.com/question/23022012
https://www.zhihu.com/question/36853661
https://www.zhihu.com/question/21911186
http://wenku.baidu.com/view/823a0bb9f111f18582d05a14.html