数学基础之代数学（6）——群
数学基础之代数学（6）——群
这里对群只是做一些简单的了解，更详细的知识需要自行学习离散数学。
1. 运算
设A,B,CA,B,CA,B,C是333个任意的非空集合，则定义一个A×BA\times BA×B到DDD的函数∗*∗，为一个A×BA\times BA×B到DDD的代数运算。那么，对AAA中的任意一个元素aaa和BBB中的任意一个元素bbb，即∀(a,b)∈A×B\forall\space(a,b)\in A\times B∀ (a,b)∈A×B，都存在唯一一个d∈Dd\in Dd∈D，使得∗((a,b))=d*((a,b))=d∗((a,b))=d，记为a∗b=da*b=da∗b=d。
例如：已知NNN是自然数集，现在定义N×NN\times NN×N到NNN上的一个函数∗*∗：∀m,n∈N,∗((m,n))=mn\forall\space m,n\in N,*((m,n))=mn∀ m,n∈N,∗((m,n))=mn，即m∗n=mnm*n=mnm∗n=mn，显然，∗*∗是一个N×NN\times NN×N到NNN的运算。
现在，我们对上述定义做如下变动：设A,BA,BA,B是222个任意的非空集合，若∗*∗是A×AA\times AA×A到BBB的一个运算，则称∗*∗是集合AAA上的一个代数运算或二元运算。此时，若有B⊆AB\subseteq AB⊆A，则∗*∗就是集合AAA上的闭运算，也说集合AAA对运算∗*∗是封闭的。若有n⩾1n\geqslant1n⩾1是正整数，我们则称一个AnA^nAn到BBB的映射∗*∗为AAA上一个nnn元运算，例如，已知RRR是实数集，RRR上的绝对值运算，可以称为RRR上一个一元运算。
2. 交换律
设A,BA,BA,B是222个任意的非空集合，∗*∗是A×AA\times AA×A到BBB的一个运算，若对于AAA中任意两个元素a,ba,ba,b，都有a∗b=b∗aa*b=b*aa∗b=b∗a，则称∗*∗运算适合交换律。例如，在数的运算中，加法运算适合交换律，而减法运算就不适合交换律。
3. 结合率
设A,BA,BA,B是222个任意的非空集合，∗*∗是A×AA\times AA×A到BBB的一个运算，若对于AAA中任意三个元素a,b,ca,b,ca,b,c，都有(a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a*b)*c=a*(b*c)(a∗b)∗c=a∗(b∗c)，则称∗*∗运算适合结合率。例如，在数的运算中，加法运算和乘法运算都适合结合率。
4. 代数系统
设AAA是一个集合，∗1,∗2,…,∗n*_1,*_2,\dots,*_n∗1,∗2,…,∗n是AAA上的nnn个代数运算，而(A,∗1,∗2,…,∗n)(A,\space*_1,\space*_2,\space\dots,\space*_n)(A, ∗1, ∗2, …, ∗n)则表示集合AAA，以及AAA上的nnn个代数运算组成的代数系统。
设(A,∗),(B,⋅)(A,\space*),\space(B,\space\cdot)(A, ∗), (B, ⋅)是两个代数系统，∗*∗是AAA上的一个二元运算，⋅\cdot⋅是BBB上的一个二元运算，现在有一个函数f:A→Bf:A\rightarrow Bf:A→B，若∀a,b∈A,s.t.f(a∗b)=f(a)⋅f(b)\forall\space a,b\in A,\space s.t.f(a*b)=f(a)\cdot f(b)∀ a,b∈A, s.t.f(a∗b)=f(a)⋅f(b)，则称函数fff是AAA到BBB的同态函数。此外，若fff是单射（设SSS为一非空集合，∀a,b∈S,a≠b\forall\space a,b\in S,a\neq b∀ a,b∈S,a=b，则有f(a)≠f(b)f(a)\neq f(b)f(a)=f(b)），则fff可称为单一同态函数；若fff是满射（设fff是集合MMM到NNN的一个映射，∀n∈N,∃m∈M,s.t.f(m)=n\forall\space n\in N,\exists\space m\in M,s.t.f(m)=n∀ n∈N,∃ m∈M,s.t.f(m)=n），则fff可称为满同态函数；若fff是双射（既是单射，又是满射），则fff可称为同构函数。
那么，两个代数系统之间，若存在单一同态函数，则称这两个代数系统是单同态的；若存在满同态函数，则称它们是满同态的；若存在同构函数，则称它们是同构的。
5. 半群
设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个代数系统，其中AAA是一个非空集合，∗*∗是AAA上的一个二元运算。若∗*∗是AAA上的闭运算，且该运算适合结合率，则称(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个半群。例如(N,+)(N,\space+)(N, +)，其中NNN表示自然数集，+++表示数的加法，∀a,b∈N\forall\space a,b\in N∀ a,b∈N，易知a+ba+ba+b组成的集合是自然数集的子集，所以+++是NNN上的闭运算。同时∀a,b∈N,(a+b)+c=a+(b+c)\forall\space a,b\in N,(a+b)+c=a+(b+c)∀ a,b∈N,(a+b)+c=a+(b+c)，所以+++运算适合结合率，因此(N,+)(N,\space+)(N, +)是一个半群。
证明一个代数系统是半群很简单，只需要依据它的定义按步骤给出证明即可：
step1step1step1：运算是集合上的闭运算，即集合中的任意元素遵循运算定义构成的结果集合，是集合的子集；
step2step2step2：运算适合结合率。
现在来看一个简单的小结论：设f,gf,gf,g是(A,∘)(A,\space\circ)(A, ∘)到(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)的同态映射，定义一个AAA到BBB的映射h:∀a∈A,h(a)=f(a)∗g(a)h:\forall\space a\in A,h(a)=f(a)*g(a)h:∀ a∈A,h(a)=f(a)∗g(a)，若(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)是一个可交换的半群，那么hhh为AAA到BBB的同态映射。证明如下：
∀a,b∈A,h(a∘b)=f(a∘b)∗g(a∘b)=(f(a)∗f(b))∗(g(a)∗g(b))=f(a)∗(f(b)∗g(a))∗g(b)=f(a)∗(g(a)∗f(b))∗g(b)=(f(a)∗g(a))∗(f(b)∗g(b))=h(a)∗h(b)\forall\space a,b\in A,\space h(a\circ b)=f(a\circ b)*g(a\circ b)=(f(a)*f(b))*(g(a)*g(b))=f(a)*(f(b)*g(a))*g(b)=f(a)*(g(a)*f(b))*g(b)=(f(a)*g(a))*(f(b)*g(b))=h(a)*h(b)∀ a,b∈A, h(a∘b)=f(a∘b)∗g(a∘b)=(f(a)∗f(b))∗(g(a)∗g(b))=f(a)∗(f(b)∗g(a))∗g(b)=f(a)∗(g(a)∗f(b))∗g(b)=(f(a)∗g(a))∗(f(b)∗g(b))=h(a)∗h(b)
∴h\therefore\space h∴ h为AAA到BBB的同态映射。
这里还有一个子半群的概念：(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个半群，∅≠B⊆A\varnothing\neq B\subseteq A∅=B⊆A，若(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)也是一个半群，那么我们就称(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)是(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)的子半群。
6. 幺元
设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个代数系统，若∃eright∈A,s.t.∀a∈A,a∗eright=a\exists\space e_{right}\in A,\space s.t.\forall\space a\in A,a*e_{right}=a∃ eright∈A, s.t.∀ a∈A,a∗eright=a，则称erighte_{right}eright为右幺元；若∃eleft∈A,s.t.∀a∈A,eleft∗a=a\exists\space e_{left}\in A,\space s.t.\forall\space a\in A,e_{left}*a=a∃ eleft∈A, s.t.∀ a∈A,eleft∗a=a，则称elefte_{left}eleft为左幺元；若∃e∈A\exists\space e\in A∃ e∈A，它既是右幺元，又是左幺元，则称eee为幺元（又称单位元）。
现在有代数系统(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)，当AAA是有穷集合时，即A={a,b,c}A=\{a,b,c\}A={a,b,c}，其上的二元运算常可用运算表给出：
| ∗*∗ | aaa | bbb | ccc |
|---|---|---|---|
| a | a | b | b |
| b | a | b | c |
| c | a | b | a |
我们可以借助运算表直接看出运算的一些性质，常见用法有：
⋅\hspace{0.5cm}\cdot\space⋅ 二元运算满足可交换性的充要条件是运算表关于主对角线对称
⋅\hspace{0.5cm}\cdot\space⋅ 二元运算有左幺元的充要条件是该元素对应的行，与该表表头的行一致
⋅\hspace{0.5cm}\cdot\space⋅ 二元运算有右幺元的充要条件是该元素对应的列，与该表表头的列一致
⋅\hspace{0.5cm}\cdot\space⋅ 二元运算有幺元的充要条件是该元素对应的行和列依次与该表表头的行和列一致
下面来看一个重要结论：设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个代数系统，若它既有左幺元，又有右幺元，则左幺元等于右幺元。若有幺元，则幺元唯一。证明如下：
设eleft,eright∈Ae_{left},e_{right}\in Aeleft,eright∈A，则 eleft=eleft∗eright=erighte_{left}=e_{left}*e_{right}=e_{right}eleft=eleft∗eright=eright，左幺元等于右幺元证毕。若有e1,e2∈Ae_1,e_2\in Ae1,e2∈A，它们都是幺元，则 e1=e1∗e2=e2e_1=e_1*e_2=e_2e1=e1∗e2=e2，幺元唯一证毕。
此外，我们定义含有幺元的半群为含幺半群。
7. 逆元
(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个代数系统，e∈Ae\in Ae∈A是幺元，现在有元素a∈Aa\in Aa∈A，若∃b∈A,s.t.a∗b=e\exists\space b\in A,\space s.t.\space a*b=e∃ b∈A, s.t. a∗b=e，则称bbb是aaa的右逆元；若∃d∈A,s.t.d∗a=e\exists\space d\in A,\space s.t.\space d*a=e∃ d∈A, s.t. d∗a=e，则称ddd是aaa的左逆元；若∃a′∈A\exists\space a'\in A∃ a′∈A，使得a′a'a′既是aaa的左逆元，又是aaa的右逆元，则称a′a'a′是aaa的逆元。
与逆元的定义相似，我们在这里可以了解一下可逆函数。现在已知ΔA\Delta_AΔA为AAA上的恒等关系，且对于任意f∈AAf\in A^Af∈AA（即fff为AAA到AAA的映射），若存在函数g:A→A,s.t.f∘g=ΔAg:A\rightarrow A,s.t.\space f\circ g=\Delta_Ag:A→A,s.t. f∘g=ΔA，则称fff是右可逆函数，并称ggg是fff的右逆函数；若存在函数g:A→A,s.t.g∘f=ΔAg:A\rightarrow A,s.t.\space g\circ f=\Delta_Ag:A→A,s.t. g∘f=ΔA，则称fff是左可逆函数，并称ggg是fff的左逆函数；若fff既是左可逆函数，又是右可逆函数，则称fff是可逆函数。这里有几个等价关系可以帮助我们更好的进行判断：
fff是右可逆函数 ⇔\Leftrightarrow⇔ fff是满射
fff是左可逆函数 ⇔\Leftrightarrow⇔ fff是单射
fff是可逆函数 ⇔\Leftrightarrow⇔ fff是双射
同时，易知恒等关系为幺元，满射函数有右逆元，单射函数有左逆元，双射函数有逆元。下面我们再来看一个重要结论：
(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个代数系统，e∈Ae\in Ae∈A是幺元，∗*∗适合结合率。对于任意的a∈Aa\in Aa∈A，若aaa既有左逆元，又有右逆元，则aaa的左逆元等于aaa的右逆元。另外，若aaa的逆元存在，则唯一。
证明：设d,bd,bd,b分别是aaa的左、右逆元，即d∗a=e,a∗b=ed*a=e,a*b=ed∗a=e,a∗b=e，就有d=d∗e=d∗(a∗b)=(d∗a)∗b=e∗b=bd=d*e=d*(a*b)=(d*a)*b=e*b=bd=d∗e=d∗(a∗b)=(d∗a)∗b=e∗b=b。同理可证逆元若存在，则逆元唯一。
注意：(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个代数系统，∀a∈A\forall\space a\in A∀ a∈A，则记a−1a^{-1}a−1为aaa的逆元。
8. 群
设AAA是一个非空集合，(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个代数系统，∗*∗是AAA上的一个二元运算，若(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)满足：
a. ∗*∗是AAA上的闭运算；
b. ∗*∗适合结合率；
c. 存在e∈Ae\in Ae∈A，是幺元（又称单位元）；
d. 对于AAA中的任意元素aaa，存在a−1∈Aa^{-1}\in Aa−1∈A，使得a∗a−1=a−1∗a=ea*a^{-1}=a^{-1}*a=ea∗a−1=a−1∗a=e
则称(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群。下面来看一个有意思的结论。
若(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群，则运算∗*∗满足左、右消去律。在证明之前，我们先看一下什么是消去律。
设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个代数系统，对于任意a,b,c∈Aa,b,c\in Aa,b,c∈A，若a∗b=a∗ca*b=a*ca∗b=a∗c，则有b=cb=cb=c，就称∗*∗运算满足左消去律；若b∗a=c∗ab*a=c*ab∗a=c∗a，则有b=cb=cb=c，就称∗*∗运算满足右消去律。现在再来看结论的证明：
∀a,b,c∈A\forall\space a,b,c\in A∀ a,b,c∈A
若a∗b=a∗ca*b=a*ca∗b=a∗c，则(a−1)∗(a∗b)=(a−1)∗(a∗b)⇒(a−1∗a)∗b=(a−1∗a)∗c⇒e∗b=e∗c⇒b=c(a^{-1})*(a*b)=(a^{-1})*(a*b)\Rightarrow(a^{-1}*a)*b=(a^{-1}*a)*c\Rightarrow e*b=e*c\Rightarrow b=c(a−1)∗(a∗b)=(a−1)∗(a∗b)⇒(a−1∗a)∗b=(a−1∗a)∗c⇒e∗b=e∗c⇒b=c；
若b∗a=c∗ab*a=c*ab∗a=c∗a，则(b∗a)∗(a−1)=(c∗a)∗(a−1)⇒b∗(a∗a−1)=c∗(a∗a−1)⇒b∗e=c∗e⇒b=c(b*a)*(a^{-1})=(c*a)*(a^{-1})\Rightarrow b*(a*a^{-1})=c*(a*a^{-1})\Rightarrow b*e=c*e\Rightarrow b=c(b∗a)∗(a−1)=(c∗a)∗(a−1)⇒b∗(a∗a−1)=c∗(a∗a−1)⇒b∗e=c∗e⇒b=c；
综上，运算∗*∗满足左、右消去律。
设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)和(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)是两个群，fff是BBB到AAA的一个映射，若对于任意b1,b2∈Bb_1,b_2\in Bb1,b2∈B，有f(b1∗b2)=f(b1)∗f(b2)f(b_1*b_2)=f(b_1)*f(b_2)f(b1∗b2)=f(b1)∗f(b2)，则称fff是(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)到(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)的群同态映射。若fff是单射，则称fff是单一同态；若fff是满射，则称fff是满同态，也称(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)的同态象；若fff是双射，则称fff是同构映射。
因此，若存在(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)到(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)的满同态映射，就称群(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)和(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)是两个同态的群；若存在(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)是(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)的同构映射，就称群(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)和(B,∗)(B,\space*)(B, ∗)是两个同构的群。此时，若(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群，fff是AAA到AAA到映射，若fff是同态映射，则称fff为群AAA的自同态映射；若fff是同构映射，则称fff是群AAA的自同构映射。
这里我们再来看一下和半群与群有关的几个定理：
- 设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个半群，∃e∈A\exists\space e\in A∃ e∈A是AAA中的左幺元，若∀a∈A,∃a′∈A,s.t.a′∗a=e\forall\space a\in A,\exists\space a'\in A,\space s.t.\space a'*a=e∀ a∈A,∃ a′∈A, s.t. a′∗a=e，则(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群。这一关系将群的四个条件转换为：
a. ∗*∗是AAA上的闭运算；
b. ∗*∗适合结合率；
c. 存在左幺元e∈Ae\in Ae∈A；
d. 对于AAA中的任意元素aaa，存在aaa的左逆元
前两个条件没变，我们来看后两个的证明：
∵e∈A\because\space e\in A∵ e∈A是AAA中的左幺元
∴∀a∈A\therefore\space\forall\space a\in A∴ ∀ a∈A，有e∗a=ae*a=ae∗a=a，下面的主要证明eee也是AAA中的右幺元
∵∀a∈A,∃a′∈A,s.t.a′∗a=e\because\space\forall\space a\in A,\exists\space a'\in A,s.t.\space a'*a=e∵ ∀ a∈A,∃ a′∈A,s.t. a′∗a=e
∴∀a′∈A,∃a′′∈A,s.t.a′′∗a′=e\therefore\space\forall\space a'\in A,\exists\space a''\in A,s.t.\space a''*a'=e∴ ∀ a′∈A,∃ a′′∈A,s.t. a′′∗a′=e
∴a∗a′=e∗(a∗a′)=(a′′∗a′)∗(a∗a′)=a′′∗(a′∗a)∗a′=a′′∗e∗a′=a′′∗(e∗a′)=a′′∗a′=e\therefore\space a*a'=e*(a*a')=(a''*a')*(a*a')=a''*(a'*a)*a'=a''*e*a'=a''*(e*a')=a''*a'=e∴ a∗a′=e∗(a∗a′)=(a′′∗a′)∗(a∗a′)=a′′∗(a′∗a)∗a′=a′′∗e∗a′=a′′∗(e∗a′)=a′′∗a′=e
∴a∗e=a∗(a′∗a)=(a∗a′)∗a=e∗a=a\therefore\space a*e=a*(a'*a)=(a*a')*a=e*a=a∴ a∗e=a∗(a′∗a)=(a∗a′)∗a=e∗a=a
∴e\therefore\space e∴ e是右幺元，a′a'a′也是aaa的右逆元，即是aaa的逆元
∴(A,∗)\therefore\space(A,\space*)∴ (A, ∗)是一个群 - 设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个半群，则(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是群当且仅当∀a,b∈A\forall\space a,b\in A∀ a,b∈A，方程a∗x=ba*x=ba∗x=b和y∗a=by*a=by∗a=b在AAA中有解。
证明：
"⇒""\Rightarrow""⇒"
设aaa和bbb是AAA中任意两个元素，∴∃a−1∈A\therefore\exists\space a^{-1}\in A∴∃ a−1∈A，且a−1∗ba^{-1}*ba−1∗b 是 a∗x=ba*x=ba∗x=b 的一个解，b∗a−1b*a^{-1}b∗a−1是y∗a=by*a=by∗a=b的一个解；
"⇐""\Leftarrow""⇐"
根据定理1，这里只需要证明存在左幺元和左逆元
设aaa是AAA中的一个元素，已知y∗a=ay*a=ay∗a=a在AAA中有解，不妨设该解为e∈Ae\in Ae∈A，即有e∗a=ae*a=ae∗a=a。
∀k∈A\forall\space k\in A∀ k∈A，已知a∗x=ka*x=ka∗x=k在AAA中有解，不妨设该解为b∈Ab\in Ab∈A，即有a∗b=ka*b=ka∗b=k，则e∗k=e∗(a∗b)=(e∗a)∗b=a∗b=ke*k=e*(a*b)=(e*a)*b=a*b=ke∗k=e∗(a∗b)=(e∗a)∗b=a∗b=k，即eee是AAA中的左幺元；
∀k∈A\forall\space k\in A∀ k∈A，已知y∗k=ey*k=ey∗k=e在AAA中有解，不妨设该解为k′k'k′，则k′k'k′是kkk的左逆元；
综上，由定理1知(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群。 - 设AAA是一个非空有限集合，(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个半群，若满足以下条件：
对 ∀a,b,c∈A\forall\space a,b,c\in A∀ a,b,c∈A，若a∗b=a∗ca*b=a*ca∗b=a∗c，则有b=cb=cb=c；若b∗a=c∗ab*a=c*ab∗a=c∗a，则有b=cb=cb=c，则称(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群。
证明：
我们先证明对 ∀a,b∈A,a∗x=b\forall\space a,b\in A,a*x=b∀ a,b∈A,a∗x=b在AAA中有解：
∵A\because A∵A是一个非空有限集合
∴\therefore∴ 可设A={a1,a2,…,an}A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}A={a1,a2,…,an}，记a∗A={a∗a1,a∗a2,…,a∗an}a*A=\{a*a_1,a*a_2,\dots,a*a_n\}a∗A={a∗a1,a∗a2,…,a∗an}
∵(A,∗)\because(A,\space*)∵(A, ∗)是一个半群
∴∗\therefore*∴∗运算是封闭的
∴a∗A⊆A\therefore a*A\subseteq A∴a∗A⊆A
作 AAA 到 a∗Aa*Aa∗A 的映射 φ:A→a∗A,φ(ai)=a∗ai,(1⩽i⩽n)\varphi:A\rightarrow a*A,\varphi(a_i)=a*a_i,(1\leqslant i\leqslant n)φ:A→a∗A,φ(ai)=a∗ai,(1⩽i⩽n)，易知，φ\varphiφ是满射，若 φ(ai)=φ(aj)\varphi(a_i)=\varphi(a_j)φ(ai)=φ(aj)，即a∗ai=a∗aja*a_i=a*a_ja∗ai=a∗aj，由已知条件，有ai=aja_i=a_jai=aj，所以可知 φ\varphiφ 是单射，所以 φ\varphiφ 是双射，则可知 ∣a∗A∣=∣A∣|a*A|=|A|∣a∗A∣=∣A∣。
∵A\because A∵A 是有限集合，且 a∗A⊆Aa*A\subseteq Aa∗A⊆A
∴a∗A=A\therefore a*A=A∴a∗A=A
∵b∈A\because b\in A∵b∈A
∴b∈a∗A\therefore b\in a*A∴b∈a∗A
∴∃ai∈A,s.t.b=a∗ai\therefore\exists\space a_i\in A,s.t.\space b=a*a_i∴∃ ai∈A,s.t. b=a∗ai，即 a∗x=ba*x=ba∗x=b 在 AAA 中有解，同理可证 y∗a=by*a=by∗a=b 在 AAA 中也有解，由定理2知：(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群。
10. 简单的特殊群
a. 设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群，
⋅\hspace{0.5cm}\cdot⋅ 若AAA是无限集，则称(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是无限群
⋅\hspace{0.5cm}\cdot⋅ 若AAA是有限集，且∣A∣=n|A|=n∣A∣=n，则称(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是nnn阶有限群
b. 设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群，∀a,b∈A\forall\space a, b\in A∀ a,b∈A，若有a∗b=b∗aa*b=b*aa∗b=b∗a，则称(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是交换群，又称阿贝尔(Abel)(Abel)(Abel)群。
c. 设(A,∗)(A,\space*)(A, ∗)是一个群，a∈Aa\in Aa∈A，
⋅\hspace{0.5cm}\cdot⋅ 若 ∃n∈Z+,s.t.a∗a∗⋯∗a=an=e\exists\space n\in Z^+,\space s.t.a*a*\cdots*a=a^n=e∃ n∈Z+, s.t.a∗a∗⋯∗a=an=e，且∀m∈Z+,m<n,\forall\space m\in Z^+,m<n,∀ m∈Z+,m<n,有am≠ea^m\neq eam=e，则称aaa是一个nnn阶元，记为o(a)=no(a)=no(a)=n
⋅\hspace{0.5cm}\cdot⋅ 若 ∀n∈Z+,an≠e\forall\space n\in Z^+,a^n\neq e∀ n∈Z+,an=e，则称aaa是无限阶元，记为o(a)=∞o(a)=\inftyo(a)=∞
11. 置换群
在学习变换群之前，我们先来看一下一个有关于映射的概念：
设AAA是一任意非空集合，定义AAA^AAA是AAA到AAA的映射构成的集合，即有AA={f∣f:A→A}A^A=\{f|f:A\rightarrow A\}AA={f∣f:A→A}，∀f1,f2∈AA\forall\space f_1,f_2\in A^A∀ f1,f2∈AA。我们定义f1∘f2f_1\circ f_2f1∘f2是一复合映射，显然有f1∘f2∈AAf_1\circ f_2\in A^Af1∘f2∈AA，即运算 ∘\circ∘ 闭合，又易知运算 ∘\circ∘ 适合结合律，因此可推出 (AA,∘)(A^A,\space\circ)(AA, ∘) 是一半群。已知恒等函数ΔA={(x,x)∣x∈A}∈AA\Delta_A=\{(x,x)|x\in A\}\in A^AΔA={(x,x)∣x∈A}∈AA，所以 ∀f∈AA,f∘ΔA=ΔA∘f=f\forall f\in A^A,\space f\circ\Delta_A=\Delta_A\circ f=f∀f∈AA, f∘ΔA=ΔA∘f=f，即ΔA\Delta_AΔA为幺元。
现在我们定义一个新的集合：U(AA)={f∣f∈AA,fU(A^A)=\{f|f\in A^A,fU(AA)={f∣f∈AA,f是双射}\}}，同理可证得 (U(AA),∘)(U(A^A),\space\circ)(U(AA), ∘) 是一含幺半群。∀f∈U(AA)\forall\space f\in U(A^A)∀ f∈U(AA)，由于 fff 是双射，所以 ∃f−1∈U(AA),s.t.f∘f−1=f−1∘f=ΔA\exists\space f^{-1}\in U(A^A),s.t.\space f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=\Delta_A∃ f−1∈U(AA),s.t. f∘f−1=f−1∘f=ΔA，且 fff 亦为双射，则有 f−1∈U(AA)f^{-1}\in U(A^A)f−1∈U(AA)，综上 (U(AA),∘)(U(A^A),\space\circ)(U(AA), ∘) 是一个群。下面我们来看变换群的定义：
设 AAA 是一非空集合，A′A'A′ 是由 AAA 到 AAA 的一些映射构成的集合，即有 A′⊆AAA'\subseteq A^AA′⊆AA，若现在有运算 ∘\circ∘ 与集合 A′A'A′ 共同构成一个群，则称 (A′,∘)(A',\space\circ)(A′, ∘) 是集合 AAA 上的一个变换群。（易知，(U(AA),∘)(U(A^A),\space\circ)(U(AA), ∘) 是集合 AAA 上的一个变换群，∀f∈U(AA)\forall\space f\in U(A^A)∀ f∈U(AA)，称 fff 为集合 AAA 上的一个变换）
当 AAA 是一有限集合时，可设 A={1,2,…,n}A=\{1,2,\dots,n\}A={1,2,…,n} ，则 AAA 上的可逆变换可以表示为 f=(12⋯n−1ni1i2⋯in−1in)f=\left(\begin{matrix}1&2&\cdots&n-1&n\\\\i_1&i_2&\cdots&i_{n-1}&i_n\end{matrix}\right)f=⎝⎛1i12i2⋯⋯n−1in−1nin⎠⎞，其中 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_ni1i2⋯in 是一个 nnn- 排列，iji_jij 表示将 jjj 位置上的元素换到 iji_jij 位置，这样的一次变换称作 nnn 次置换，形成的群称作 nnn 次置换群。所有 nnn 次置换形成的群记为 SnS_nSn。
例如置换(123213)\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&1&3\end{matrix}\right)⎝⎛122133⎠⎞ 作用在排列 (a,b,c)(a,b,c)(a,b,c) 后得到的新排列就是 (b,a,c)(b,a,c)(b,a,c)，易知该置换的作用是将排列的 1、21、21、2 号位置上的元素互换。而排列 (b,a,c)(b,a,c)(b,a,c) 被置换 (123321)\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&2&1\end{matrix}\right)⎝⎛132231⎠⎞ 作用后就变成了 (c,a,b)(c,a,b)(c,a,b)。现在我们将置换 (123213)\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&1&3\end{matrix}\right)⎝⎛122133⎠⎞ 和 (123321)\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&2&1\end{matrix}\right)⎝⎛132231⎠⎞ 进行复合，就可以得到 (123321)(123213)=(123312)\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&1&3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&1&2\end{matrix}\right)⎝⎛132231⎠⎞⎝⎛122133⎠⎞=⎝⎛132132⎠⎞ （置换的复合运算顺序为右结合）。将复合得到的新置换 (123312)\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&1&2\end{matrix}\right)⎝⎛132132⎠⎞ 作用在排列 (a,b,c)(a,b,c)(a,b,c) 上可得 (c,a,b)(c,a,b)(c,a,b)，与依次作用得到的结果一致。
333 阶置换群 S3S_3S3 中元素是 333 次置换，可以表示为 f=(123i1i2i3)f=\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\i_1&i_2&i_3\end{matrix}\right)f=⎝⎛1i12i23i3⎠⎞，将 i1i2i3i_1i_2i_3i1i2i3 替换为 333- 排列，则有 S3={(123123)(123132),(123213),(123231),(123312),(123321)}S_3=\{\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\1&2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\1&3&2\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&1&3\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&3&1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&1&2\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&2&1\end{matrix}\right)\}S3={⎝⎛112233⎠⎞⎝⎛112332⎠⎞,⎝⎛122133⎠⎞,⎝⎛122331⎠⎞,⎝⎛132132⎠⎞,⎝⎛132231⎠⎞}。此外，还有另一种用于表示置换的方法。若对于 (i1,i2,…,ik)(i_1,i_2,\dots,i_k)(i1,i2,…,ik)，有 f(i1)=i2,f(i2)=i3,…,f(ik−1)=ik,f(ik)=i1f(i_1)=i_2,f(i_2)=i_3,\dots,f(i_{k-1})=i_k,f(i_k)=i_1f(i1)=i2,f(i2)=i3,…,f(ik−1)=ik,f(ik)=i1，则称 (i1,i2,…,ik)(i_1,i_2,\dots,i_k)(i1,i2,…,ik) 是一个循环节。因此，一个置换群可以拆分成若干个循环节，例如，f=(1234523145)f=\left(\begin{matrix}1&2&3&4&5\\\\2&3&1&4&5\end{matrix}\right)f=⎝⎛1223314455⎠⎞ 可以表示为 (1,2,3)(4)(5)(1,2,3)(4)(5)(1,2,3)(4)(5)。同样的，对于上述例子 S3S_3S3，可以改写为 S3={(1)(2)(3),(1)(2,3),(1,2)(3),(1,2,3),(1,3,2),(1,3)(2)}S_3=\{(1)(2)(3),(1)(2,3),(1,2)(3),(1,2,3),(1,3,2),(1,3)(2)\}S3={(1)(2)(3),(1)(2,3),(1,2)(3),(1,2,3),(1,3,2),(1,3)(2)}。
下面我们来了解一个比较具有代表性的置换群——二面体群 DnD_nDn：空间中的一个含 nnn 个顶点的二面体（即平面上的 nnn 边形）上，由所有旋转和关于某个对称轴的翻转所组成的群叫做一个二面体群。例如，当 n=3n=3n=3 时（通常取平分 nnn 边形的对称轴为固定轴），记顺时针旋转一个单位为 σ(1,2,3)\sigma(1,2,3)σ(1,2,3)，绕对称轴翻转为 τ(1)(2,3)\tau(1)(2,3)τ(1)(2,3)，则 D3=<σ,τ>={1,σ,σ2,τ,στ,σ2τ}D_3=<\sigma,\tau>=\{1,\sigma,\sigma^2,\tau,\sigma\tau,\sigma^2\tau\}D3=<σ,τ>={1,σ,σ2,τ,στ,σ2τ}，含义如下：
| 111 | 111 |
|---|---|
| 222 | τ\tauτ |
| 333 | σ\sigmaσ |
| 444 | στ\sigma\tauστ |
| 555 | σ2\sigma^2σ2 |
| 666 | σ2τ\sigma^2\tauσ2τ |
12. 循环群
设 (A,∗)(A,*)(A,∗) 是一个群，若 a∈Aa\in Aa∈A，显然有 a2∈A,a3∈A,…,∀n∈Z+,an∈Aa^2\in A,a^3\in A,\dots,\forall\space n\in Z^+,a^n\in Aa2∈A,a3∈A,…,∀ n∈Z+,an∈A。另外，因为 a∈Aa\in Aa∈A，所以有 a−1∈Aa^{-1}\in Aa−1∈A，进而有 a−2∈A,a−3∈A,…,∀n∈Z+,a−n∈Aa^{-2}\in A,a^{-3}\in A,\dots,\forall\space n\in Z^+,a^{-n}\in Aa−2∈A,a−3∈A,…,∀ n∈Z+,a−n∈A。现在，规定 a0=e∈Aa^0=e\in Aa0=e∈A 是 AAA 中的幺元，则 ∀n∈Z,gn∈A\forall\space n\in Z,g^n\in A∀ n∈Z,gn∈A，显然，({an∣n∈Z},∗)(\{a^n|n\in Z\},*)({an∣n∈Z},∗) 也是一个群。现在，设 (A,∗)(A,*)(A,∗) 是一个群，若 AAA 的每一个元素都是某个固定元 aaa 的乘方，则称 AAA 为循环群，aaa 为生成元，记为 A=(a)={an∣a∈Z}A=(a)=\{a^n|a\in Z\}A=(a)={an∣a∈Z}。
现在有循环群 A=(a)A=(a)A=(a)，若 o(a)=no(a)=no(a)=n，则称 AAA 是 nnn 阶有限循环群；若 o(a)=∞o(a)=\inftyo(a)=∞，则称 AAA 是无限循环群。
13. 子群
设 (G,∗)(G,*)(G,∗) 是一个群，有 ∅≠A⊆G\varnothing\neq A\subseteq G∅=A⊆G，若 (A,∗)(A,*)(A,∗) 也是一个群，则称 (A,∗)(A,*)(A,∗) 是 (G,∗)(G,*)(G,∗) 的子群。下面是一个关于子群的等价关系式
(A,∗)(A,*)(A,∗) 是 (G,∗)(G,*)(G,∗) 的子群 ⇔\Leftrightarrow⇔ ∀a,b∈A\forall\space a,b\in A∀ a,b∈A，有 a∗b−1∈Aa*b^{-1}\in Aa∗b−1∈A
14. 陪集
已知 (G,∗)(G,*)(G,∗) 是一个群，(H,∗)(H,*)(H,∗) 是 (G,∗)(G,*)(G,∗) 的子群，设 g∈Gg\in Gg∈G，则称 H∗g={h∗g∣h∈H}H*g=\{h*g|h\in H\}H∗g={h∗g∣h∈H} 为子群 (H,∗)(H,*)(H,∗) 的右陪集，g∗H={g∗h∣h∈H}g*H=\{g*h|h\in H\}g∗H={g∗h∣h∈H} 为子群 (H,∗)(H,*)(H,∗) 的左陪集
15. 正规子群与商群
已知 (G,∗)(G,*)(G,∗) 是一个群，(N,∗)(N,*)(N,∗) 是 (G,∗)(G,*)(G,∗) 的一个子群，若 ∀g∈G\forall\space g\in G∀ g∈G，有 g∗N=N∗gg*N=N*gg∗N=N∗g，即 ggg 关于 (N,∗)(N,*)(N,∗) 的左陪集等于右陪集，则称 (N,∗)(N,*)(N,∗) 是 (G,∗)(G,*)(G,∗) 的正规子群，亦称不变子群。
现在设 (G,∗)(G,*)(G,∗) 是一个群，(H,∗)(H,*)(H,∗) 是 (G,∗)(G,*)(G,∗) 的正规子群，定义 G/H={g∗H∣g∈G}G/H=\{g*H|g\in G\}G/H={g∗H∣g∈G}，易知 (G/H,⊙)(G/H,\odot)(G/H,⊙) 是一个群，则称群 (G/H,⊙)(G/H,\odot)(G/H,⊙) 为 (G,∗)(G,*)(G,∗) 的商群。
16. 群作用
设 GGG 为一个群，SSS 为一个集合，考虑一个映射 ∘\circ∘：
G×S→S(g,x)↦g∘xG\times S\rightarrow S\hspace{1cm}(g,x)\mapsto g\circ xG×S→S(g,x)↦g∘x
若此映射满足：
a. 1G∘x=x,∀x∈S1_G\circ x=x,\forall \space x\in S1G∘x=x,∀ x∈S；
b. (gh)∘x=g∘(h∘x),∀x∈S,∀g,h∈G(gh)\circ x=g\circ(h\circ x),\forall\space x\in S,\forall\space g,h\in G(gh)∘x=g∘(h∘x),∀ x∈S,∀ g,h∈G
则称映射 ∘\circ∘ 是 GGG 在 SSS 上的一个群作用。
S3S_3S3 在 T={a,b,c}T=\{a,b,c\}T={a,b,c} 上有群作用 ∘\circ∘：
S3×T→T(f,t)↦f∘t=f(t)S_3\times T\rightarrow T\hspace{1cm}(f,t)\mapsto f\circ t=f(t)S3×T→T(f,t)↦f∘t=f(t)
例如对于 f=(123231)f=\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&3&1\end{matrix}\right)f=⎝⎛122331⎠⎞，f∘a=f(a)=b,f∘b=f(b)=x,f∘c=f(c)=af\circ a=f(a)=b,f\circ b=f(b)=x,f\circ c=f(c)=af∘a=f(a)=b,f∘b=f(b)=x,f∘c=f(c)=a。
17. 轨道
设 ∘\circ∘ 是 GGG 在 SSS 上的一个群作用，对于一个元素 x∈Sx\in Sx∈S，集合 Ox={g∘x∣g∈G}O_x=\{g\circ x|g\in G\}Ox={g∘x∣g∈G} 称为 xxx 所在的轨道，也记为 G∘xG\circ xG∘x。可以从轨道的概念诱导出集合上的一个等价关系，若已知集合 SSS 和作用在 SSS 上的群 GGG，定义集合 SSS 上的二元关系 ∗*∗，∀x,y∈S,x∗yifOx=Oy\forall\space x,y\in S,x*y\space\space if\space O_x=O_y∀ x,y∈S,x∗y if Ox=Oy。
以 S3S_3S3 的 222 阶子群 {(123123),(123213)}\{\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\1&2&3\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\2&1&3\end{matrix}\right)\}{⎝⎛112233⎠⎞,⎝⎛122133⎠⎞} 为例，作用在集合 T={a,b,c}T=\{a,b,c\}T={a,b,c} 上。TTT 中元素 aaa 和 元素 bbb 所在的轨道皆为 Oa=Ob={a,b}O_a=O_b=\{a,b\}Oa=Ob={a,b}，而 Oc={c}O_c=\{c\}Oc={c}。易知 a∗ba*ba∗b。在这个等价关系下， TTT 可以被分成两个不相交的等价类 {a,b}\{a,b\}{a,b} 和 {c}\{c\}{c}。
18. 稳定子
设 ∘\circ∘ 是 GGG 在 SSS 上的一个群作用，对于一个元素 x∈Sx\in Sx∈S，集合 Stabx={g∈G∣g∘x=x}Stab_x=\{g\in G|g\circ x=x\}Stabx={g∈G∣g∘x=x} 称为 xxx 在 GGG 中的稳定子。不难发现，StabxStab_xStabx 为 GGG 的一个子群。
以 S3S_3S3 作用在 T={a,b,c}T=\{a,b,c\}T={a,b,c} 上为例，TTT 中元素 bbb 能被那些 f(b)=bf(b)=bf(b)=b 的置换 fff 稳定，从而有 Stabx={(123123),(123321)}Stab_x=\{\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\1&2&3\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&2&3\\\\3&2&1\end{matrix}\right)\}Stabx={⎝⎛112233⎠⎞,⎝⎛132231⎠⎞}。
一个元素 xxx 的稳定子 StabxStab_xStabx 与轨道 OxO_xOx 有如下关系 ∣Ox∣=∣G∣∣Stabx∣|O_x|=\frac{|G|}{|Stab_x|}∣Ox∣=∣Stabx∣∣G∣。
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