数学基础之代数学（1）—

数学基础之代数学（1）——矩阵

生命写在开头，这里介绍的代数学概念比较基础，如果想深入了解的同学可以自行学习线性代数（或者高等代数）和离散数学。

1、矩阵的基本概念
一个n×mn\times mn×m的矩阵是nnn行mmm列的矩形阵列，一般由数值组成，Ai,jA_{i,j}Ai,j表示矩阵AAA的第iii行，第jjj列。比如A=(123321)A=\left(\begin{matrix}1\space\space2\space\space3\\\\3\space\space2\space\space1\end{matrix}\right)A=⎝⎛1 2 33 2 1⎠⎞就是一个2×32\times32×3的矩阵AAA，A1,3=3A_{1,3}=3A1,3=3。
注意，矩阵中有一个常见的特殊矩阵——单位矩阵I=def(1⋯0⋯⋯⋯0⋯1)I\stackrel{def}{=}\left(\begin{matrix}1\space\space\cdots\space\space0\\\\\cdots\space\space\cdots\space\space\cdots\\\\0\space\space\cdots\space\space1\end{matrix}\right)I=def⎝⎜⎜⎜⎜⎛1 ⋯ 0⋯ ⋯ ⋯0 ⋯ 1⎠⎟⎟⎟⎟⎞，即对角线上为111，其他位置上都是000的矩阵。

2、矩阵加（减）法
矩阵的加（减）法定义为每行每列的元素分别相加（减），因此必须保证相加（减）的矩阵规格相同，即C=A±B⇒Ci,j=Ai,j±Bi,jC=A\pm B\Rightarrow C_{i,j}=A_{i,j}\pm B_{i,j}C=A±B⇒Ci,j=Ai,j±Bi,j
⇒C=(A1,1±B11⋯A1,m±B1,m⋯⋯⋯An,1±Bn,1⋯An,m±Bn,m)\Rightarrow C=\left(\begin{matrix}A_{1,1}\pm B_{11}\space\space\cdots\space\space A_{1,m}\pm B_{1,m}\\\\\cdots\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdots\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdots\\\\A_{n,1}\pm B_{n,1}\space\space\cdots\space\space A_{n,m}\pm B_{n,m}\end{matrix}\right)⇒C=⎝⎜⎜⎜⎜⎛A1,1±B11 ⋯ A1,m±B1,m⋯ ⋯ ⋯An,1±Bn,1 ⋯ An,m±Bn,m⎠⎟⎟⎟⎟⎞
注：矩阵加法满足交换律和结合律。

3、矩阵乘法
矩阵的乘法有一个非常重要的前提——一个矩阵的列数，必须等于另一个矩阵的行数。设AAA是n×mn\times mn×m的矩阵，BBB是m×pm\times pm×p的矩阵，那么A,BA,BA,B相乘得到的CCC，就是一个n×pn\times pn×p的矩阵。其中Ci,j=∑k=1mAi,k×Bk,jC_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}A_{i,k}\times B_{k,j}Ci,j=∑k=1mAi,k×Bk,j
注意这里是A×BA\times BA×B，能否进行B×AB\times AB×A还要看nnn是否等于ppp。因此，矩阵乘法一定满足分配律和结合律，但不一定满足交换律。

4、矩阵的幂
矩阵的幂本质上和单一数值的幂相同，都是自身累乘的结果，但是由于矩阵乘法的特殊性，一般我们只考虑同阶矩阵（n×nn\times nn×n）。有如下计算式：
A0=IA^0=IA0=I
An=An−1×A(n>0)A^n=A^{n-1}\times A\space\space(n>0)An=An−1×A (n>0)
注：由于矩阵满足结合律，我们在求解矩阵的幂的过程中，可以借助快速幂提速。

5、矩阵的转置
对一个矩阵进行转置处理，本质上就是将它的行和列互换，即规格为n×mn\times mn×m的矩阵AAA在转置后，就会生成规格为m×nm\times nm×n的矩阵ATA^TAT（注意矩阵转置的符号）。转置公式：Ai,jT=Aj,iA^T_{i,j}=A_{j,i}Ai,jT=Aj,i。

6、矩阵的逆
矩阵的逆也有一个非常重要的前提——只有规格为n×nn\times nn×n的矩阵才有可能存在逆。因为，逆的定义非常苛刻：设矩阵BBB是AAA的逆，那么A,BA,BA,B必须满足A×B=B×A=IA\times B=B\times A=IA×B=B×A=I。如果BBB存在，那么它一定是唯一的，一般记为A−1A^{-1}A−1。

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