椭圆积分函数和雅各比椭圆函数

椭圆积分函数

函数u=F(φ,k)=∫0φdx1−k2sin⁡2x=∫0sinφdx(1−x2)(1−kx2)(1)u=F(\varphi, k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}=\int_{0}^{sin{\varphi} }\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(1-x^{2})(1-kx^{2})}}{\tag1}u=F(φ,k)=∫0φ1−k2sin2xdx=∫0sinφ(1−x2)(1−kx2)dx(1)

是用积分形式定义的函数，被称为第一类椭圆积分函数。其中kkk是参数，被称为椭圆积分函数的模长。通常认为kkk满足不等式0⩽k<10 \leqslant k<10⩽k<1。式(1)的后两项是文献中常用的定义形式。由于在φ=0\varphi=0φ=0时二式相等，且二式在定义域上的导数均相等，因此很容易看出二者表示的是同一个函数。该函数是单调递增的奇函数。函数在不同的模长kkk下的图像如下：

k=0

k=0.75

k=0.999 图1

该函数在φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2}φ=2π处的值被称作第一类完全椭圆全积分
K(k)=F(π2,k)=∫0π/2dx1−k2sin⁡2x(2)K(k)=F\left(\frac{\pi}{2}, k\right)=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}{\tag2}K(k)=F(2π,k)=∫0π/21−k2sin2xdx(2)

当模长kkk确定后，该值是常数。

雅各比椭圆函数

第一类椭圆积分函数的反函数称为幅值函数，表示为
φ=amu\varphi=\mathrm{am} uφ=amu

则椭圆正弦函数z=sn⁡(u,k)z=\operatorname{sn}(u, k)z=sn(u,k)和椭圆余弦函数z=cn⁡(u,k)z=\operatorname{cn}(u, k)z=cn(u,k)定义如下：
z=sn⁡(u,k)=sin⁡φ=sin⁡am⁡u,z=cn⁡(u,k)=cos⁡φ=cos⁡am⁡u(3)z=\operatorname{sn}(u, k)=\sin \varphi=\sin \operatorname{am} u, \quad z=\operatorname{cn}(u, k)=\cos \varphi=\cos \operatorname{am} u{\tag3}z=sn(u,k)=sinφ=sinamu,z=cn(u,k)=cosφ=cosamu(3)

由
u+4K(k)=∫0φdx1−k2sin⁡2x+4∫0π/2dx1−k2sin⁡2x=∫0φdx1−k2sin⁡2x+∫02πdx1−k2sin⁡2x=∫0φdx1−k2sin⁡2x+∫φ2π+φdx1−k2sin⁡2x=∫0φ+2πdx1−k2sin⁡2x\begin{aligned} u+4K(k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}+4\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}} \\ =\int_{0}^{\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}+\int_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}\\ =\int_{0}^{\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}+\int_{\varphi}^{2\pi+\varphi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}}\\ =\int_{0}^{\varphi+2\pi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} x}} \end{aligned}u+4K(k)=∫0φ1−k2sin2xdx+4∫0π/21−k2sin2xdx=∫0φ1−k2sin2xdx+∫02π1−k2sin2xdx=∫0φ1−k2sin2xdx+∫φ2π+φ1−k2sin2xdx=∫0φ+2π1−k2sin2xdx

可得

am⁡(u+4K(k))=φ+2π\operatorname{am}(u+4K(k))=\varphi+2\pi am(u+4K(k))=φ+2π

因此
sn⁡(u+4K(k))=sin⁡am⁡(u+4K(k))=sin⁡(φ+2π)=sin⁡(φ)=sn⁡(u)\operatorname{sn}(u+4K(k))=\operatorname{sin}\operatorname{am}(u+4K(k))=\operatorname{sin}(\varphi+2\pi)=\operatorname{sin}(\varphi)=\operatorname{sn}(u) sn(u+4K(k))=sinam(u+4K(k))=sin(φ+2π)=sin(φ)=sn(u)

可见椭圆正弦函数z=sn⁡(u,k)z=\operatorname{sn}(u, k)z=sn(u,k)周期为4K(k)4K(k)4K(k)。同理，椭圆余弦函数z=cn⁡(u,k)z=\operatorname{cn}(u, k)z=cn(u,k)的周期也为4K(k)4K(k)4K(k)。并且，椭圆正弦函数z=sn⁡(u,k)z=\operatorname{sn}(u, k)z=sn(u,k)是奇函数，椭圆余弦函数z=cn⁡(u,k)z=\operatorname{cn}(u, k)z=cn(u,k)是偶函数。可见，二者应该有分别与正弦，余弦函数类似的图像。
定义幅值的δ\deltaδ函数
z=dn⁡(u,k)=dφdu=1−k2sin⁡2φ=1−k2sn⁡2(u,k)(4)z=\operatorname{dn}(u, k)=\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} u}=\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \varphi}=\sqrt{1-k^{2} \operatorname{sn}^{2}(u, k)}{\tag4}z=dn(u,k)=dudφ=1−k2sin2φ=1−k2sn2(u,k)(4)

该函数以2K(k)2K(k)2K(k)为周期。
sn⁡(u,k),cn⁡(u,k),dn⁡(u,k)\operatorname{sn}(u, k),\operatorname{cn}(u, k),\operatorname{dn}(u, k)sn(u,k),cn(u,k),dn(u,k)统称为雅各比椭圆函数，它们之间满足如下容易验证的恒等式。
sn⁡2u+cn⁡2u=1dn⁡2u+k2sn⁡2u=1(5)\begin{aligned} &\operatorname{sn}^{2} u+\operatorname{cn}^{2} u=1\\ &\operatorname{dn}^{2} u+k^{2} \operatorname{sn}^{2} u=1 \end{aligned}{\tag5}sn2u+cn2u=1dn2u+k2sn2u=1(5)

三个雅各比椭圆函数在不同的模长kkk下的图像如下

k=0

k=0.5

k=0.75 图2

可见，当k=0k=0k=0时，z=sn⁡(u,k)z=\operatorname{sn}(u,k)z=sn(u,k),z=cn⁡(u,k)z=\operatorname{cn}(u,k)z=cn(u,k)和z=dn⁡(u,k)z=\operatorname{dn}(u,k)z=dn(u,k)分别变为z=sin⁡uz=\operatorname{sin}uz=sinu,z=cos⁡uz=\operatorname{cos}uz=cosu和z=1z=1z=1。
函数图像与第一类完全椭圆积分K(k)的一般关系如图3所示。

图3

参考文献
理论力学马尔契夫