多表古典密码统计分析

一、前言

1. 多表古典密码分析

我们以Vigenere密码为例来说明多表古典密码的分析方法。确定密钥字长度的方法有Kasiski测试法（Kasiski Test）和重合指数法（index of coincidence).

2. Vigenere密码

Vigenere（维吉尼亚）密码是使用一系列凯撒密码组成密码字母表的加密算法，属于多表密码的一种简单形式。
凯撒密码：一种替换加密的技术，明文中的所有字母都在字母表上向后（或向前）按照一个固定数目进行偏移后被替换成密文。例如，当偏移量是3的时候，所有的字母A将被替换成D，B变成E，以此类推。

二、Vigenere密码分析

1. Kasiski测试法

寻找密文中相同的片段对(一般长度大于三)，计算每对相同密文片段对之间的距离，不妨记为d1,d2,…,did_1,d_2,…,d_id1,d2,…,di，若令密钥字的长度为mmm，则m=gcd(d1,d2,…,di)m=gcd(d_1,d_2,…,d_i)m=gcd(d1,d2,…,di)

2. 重合指数法

设X=x1x2…xnX=x_1x_2…x_nX=x1x2…xn是一个长度为n的英文字母串，则x中任意选取两个字母相同的概率定义为重合指数，用 Ic(x)I_c(x)Ic(x) 表示。
设英文字母A，B,…，ZA，B,…，ZA，B,…，Z在XXX中出现的次数分别为：f0,f1,…,f25f_0,f_1,…,f_{25}f0,f1,…,f25则从XXX中任意选取两个字母相同的概率为
Ic(X)=∑i=025fi(fi−1)n(n−1)I_{c}(X)=\frac{\sum_{i=0}^{25} f_{i}\left(f_{i}-1\right)}{n(n-1)} Ic(X)=n(n−1)∑i=025fi(fi−1)
下表为26个英文字母的出现频率：

已知每个英文字母出现的期望概率，分别记为p0,p1,…,p25p_0,p_1,…,p_{25}p0,p1,…,p25，那么X中两个元素相同的概率计算为
Ic(X)≈∑i=025pi2I_{c}(X) \approx \sum_{i=0}^{25} p_{i}^{2}Ic(X)≈i=0∑25pi2
结果约等于 0.065，若是均匀分布，则值约等于0.038。

三、实际密码分析

1. 问题描述

设某一段明文经过VigenereVigenereVigenere密码加密后密文为
CHREEVOAHMAERATBIAXXWTNXBEEOPHBSBQMQEQERBWCHREEVOAHMAERATBIAXXWTNXBEEOPHBSBQMQEQERBWCHREEVOAHMAERATBIAXXWTNXBEEOPHBSBQMQEQERBW
RVXUOAKXAOSXXWEAHBWGJMMQMNKGRFVGXWTRZXWIAKRVXUOAKXAOSXXWEAHBWGJMMQMNKGRFVGXWTRZXWIAKRVXUOAKXAOSXXWEAHBWGJMMQMNKGRFVGXWTRZXWIAK
LXFPSKAUTEMNDCMGTSXMXBTUIADNGMGPSRELXNJELXLXFPSKAUTEMNDCMGTSXMXBTUIADNGMGPSRELXNJELXLXFPSKAUTEMNDCMGTSXMXBTUIADNGMGPSRELXNJELX
VRVPRTULHDNQWTWDTYGBPHXTFALJHASVBFXNGLLCHRVRVPRTULHDNQWTWDTYGBPHXTFALJHASVBFXNGLLCHRVRVPRTULHDNQWTWDTYGBPHXTFALJHASVBFXNGLLCHR
ZBWELEKMSJIKNBHWRJGNMGJSGLXFEYPHAGNRBIEQJTZBWELEKMSJIKNBHWRJGNMGJSGLXFEYPHAGNRBIEQJTZBWELEKMSJIKNBHWRJGNMGJSGLXFEYPHAGNRBIEQJT
AMRVLCRREMNDGLXRRIMGNSNRWCHRQHAEYEVTAQEBBIAMRVLCRREMNDGLXRRIMGNSNRWCHRQHAEYEVTAQEBBIAMRVLCRREMNDGLXRRIMGNSNRWCHRQHAEYEVTAQEBBI
PEEWEVKAKOEWADREMXMTBJJCHRTKDNVRZCHRCLQOHPPEEWEVKAKOEWADREMXMTBJJCHRTKDNVRZCHRCLQOHPPEEWEVKAKOEWADREMXMTBJJCHRTKDNVRZCHRCLQOHP
WQAIIWXNRMGWOIIFKEEWQAIIWXNRMGWOIIFKEEWQAIIWXNRMGWOIIFKEE
通过两种分析方法计算出此密码的密钥。

2. 问题解决

1. 密文片段CHR一共出现了5次，每次开始位置分别为1，166，236，276，286，第一次出现到各次出现的距离did_idi分别为165，235，275，285，所以m=gcd(165，235，275，285)=5m=gcd(165，235，275，285) = 5m=gcd(165，235，275，285)=5
2. 根据Kasiski测试法得到的mvmvmv，可以将密文YvYvYv按照下列形式排列：
将YYY排列成mmm行n/mn/mn/m列的形式，形如：
k1y1ym+1⋯yn−m+1k2y2ym+2⋯yn−m+2k3y3ym+3⋯yn−m+3⋮⋮⋮⋮⋮kmymy2m⋯yn\begin{array}{ccccc} k_{1} & y_{1} & y_{m+1} & \cdots & y_{n-m+1} \\ k_{2} & y_{2} & y_{m+2} & \cdots & y_{n-m+2} \\ k_{3} & y_{3} & y_{m+3} & \cdots & y_{n-m+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ k_{m} & y_{m} & y_{2 m} & \cdots & y_{n} \end{array} k1k2k3⋮kmy1y2y3⋮ymym+1ym+2ym+3⋮y2m⋯⋯⋯⋮⋯yn−m+1yn−m+2yn−m+3⋮yn
设f0,f1,…,f25分别表示串yi中英文字母A，B,…，Z出现的次数，令n’=n/m表示串yi的长度，则26个英文字母在yi的概率分布为：
f0n,f1n,f2n,……..f25n\frac{f_{0}}{n}, \frac{f_{1}}{n}, \frac{f_{2}}{n}, \ldots \ldots . . \frac{f_{25}}{n} nf0,nf1,nf2,……..nf25

考虑到VigenereVigenereVigenere密码子串yiy_iyi是有对应的明文子集中的字母移动KiK_iKi个位置所得，因此，移动后的概率分布为：
fkin′,f1+kin′,f2+kin′,………,f25+kin′\frac{f_{k i}}{n^{\prime}}, \frac{f_{1+k i}}{n^{\prime}}, \frac{f_{2+k i}}{n^{\prime}}, \ldots \ldots \ldots, \frac{f_{25+k i}}{n^{\prime}}n′fki,n′f1+ki,n′f2+ki,………,n′f25+ki

Mg=∑i=025pifi+gn′M_{g}=\sum_{i=0}^{25} \frac{p_{i} f_{i+g}}{n^{\prime}}Mg=i=0∑25n′pifi+g

每一行计算每一种字母的MgM_gMg值（ggg代表0-25即a−za-za−z),若ggg对应的MgM_gMg 值与0.065接近，那么ggg则为密钥

四、编程

1. 代码

2. 运行结果

程序比较简单，但是代码比较长，我只把结果贴出来比对一下：