棋盘覆盖问题——详解(C++)
【问题描述】
在一个 2 ^k × 2 ^k 个方格组成的棋盘中,若有一个方格与其他方格不同,则称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一个特殊棋盘.显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k 种情形.因而对任何k≥0,有4^k种不同的特殊棋盘.
下图中的特殊棋盘是当k=3时64个特殊棋盘中的一个:
在棋盘覆盖问题中,要用下图中 4 中不同形态的** L 型骨牌覆盖一个给定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格,且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖**。易知,在任何一个 2^k × 2^k 的棋盘中,用到的 L 型骨牌个数恰为 (4^k-1)/3 。
用分治策略,可以设计解棋盘问题的一个简捷的算法。
当 k>0 时,将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盘,如下图所示:
特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一中,其余 3 个子棋盘中无特殊方格。
为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘,我们可以用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小的棋盘的汇合处,如下图所示,这 3 个子棋盘上被 L 型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格,从而将原问题化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归的使用这种分割,直至棋盘简化为 1x1 棋盘。
【算法实现】
下面讨论棋盘覆盖问题中数据结构的设计:
(1)棋盘:可以用一个二维数组board[size][size]表示一个棋盘,其中,size=2^k。为了在递归处理的过程中使用同一个棋盘,将数组board设为全局变量;
(2)子棋盘:整个棋盘用二维数组board[size][size]表示,其中的子棋盘由棋盘左上角的下标tr、tc和棋盘大小s表示;
(3)特殊方格:用board[dr][dc]表示特殊方格,dr和dc是该特殊方格在二维数组board中的下标;
(4) L型骨牌:一个2k×2k的棋盘中有一个特殊方格,所以,用到L型骨牌的个数为(4^k-1)/3,将所有L型骨牌从1开始连续编号,用一个全局变量t表示。
【算法分析】
设T(k)是算法ChessBoard覆盖一个2k×2k棋盘所需时间,从算法的划分策略可知,T(k)满足如下递推式:
T(k) = 1 当k=0时
T(k) = 4 * T(k-1) 当k>0时
解此递推式可得 T(k) = O(4^k)。
C++代码1
#include<iostream>
using namespace std;
int tile=1; //L型骨牌的编号(递增)
int board[100][100]; //棋盘
/*****************************************************
* 递归方式实现棋盘覆盖算法
* 输入参数:
* tr--当前棋盘左上角的行号
* tc--当前棋盘左上角的列号
* dr--当前特殊方格所在的行号
* dc--当前特殊方格所在的列号
* size:当前棋盘的:2^k
*****************************************************/
void chessBoard ( int tr, int tc, int dr, int dc, int size )
{ if ( size==1 ) //棋盘方格大小为1,说明递归到最里层 return; int t=tile++; //每次递增1 int s=size/2; //棋盘中间的行、列号(相等的) //检查特殊方块是否在左上角子棋盘中 if ( dr<tr+s && dc<tc+s ) //在 chessBoard ( tr, tc, dr, dc, s ); else //不在,将该子棋盘右下角的方块视为特殊方块 { board[tr+s-1][tc+s-1]=t; chessBoard ( tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s ); } //检查特殊方块是否在右上角子棋盘中 if ( dr<tr+s && dc>=tc+s ) //在 chessBoard ( tr, tc+s, dr, dc, s ); else //不在,将该子棋盘左下角的方块视为特殊方块 { board[tr+s-1][tc+s]=t; chessBoard ( tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s ); } //检查特殊方块是否在左下角子棋盘中 if ( dr>=tr+s && dc<tc+s ) //在 chessBoard ( tr+s, tc, dr, dc, s ); else //不在,将该子棋盘右上角的方块视为特殊方块 { board[tr+s][tc+s-1]=t; chessBoard ( tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s ); } //检查特殊方块是否在右下角子棋盘中 if ( dr>=tr+s && dc>=tc+s ) //在 chessBoard ( tr+s, tc+s, dr, dc, s ); else //不在,将该子棋盘左上角的方块视为特殊方块 { board[tr+s][tc+s]=t; chessBoard ( tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s ); }
} void main()
{ int size; cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): "; cin>>size; int index_x,index_y; cout<<"输入特殊方格位置的坐标: "; cin>>index_x>>index_y; chessBoard ( 0,0,index_x,index_y,size ); for ( int i=0; i<size; i++ ) { for ( int j=0; j<size; j++ ) cout<<board[i][j]<<"/t"; cout<<endl; }
}
C++代码2
#include<iostream>
#include<vector>
#include<stack> using namespace std; vector<vector<int> > board(4);//棋盘数组,也可以作为参数传递进chessBoard中去,作为全局变量可以减少参数传递
stack<int> stI; //记录当前所使用的骨牌号码,使用栈顶元素填充棋盘数组
int sL = 0; //L型骨牌序号 //所有下标皆为0开始的C C++下标
void chessBoard(int uRow, int lCol, int specPosR, int specPosC, int rowSize)
{ if(rowSize ==1) return; //static int sL = 0;棋牌和骨牌都可以用static代替,如果不喜欢用全局变量的话。 sL++; stI.push(sL); //每递归深入一层,就把一个骨牌序号入栈 int halfSize = rowSize/2;//拆分 //注意:下面四个if else,肯定是只有一个if成立,然后执行if句,而肯定有三个else语句要执行的,因为肯定有一个是特殊位置,而其他三个是空白位置,需要填充骨牌。 //1如果特殊位置在左上角区域,则继续递归,直到剩下一个格子,并且该格子已经填充,遇到函数头一句if(rowSize == 1) return;就跳出一层递归。 //注意是一个区域或子棋盘,有一个或者多个格子,并不是就指一个格子。 if(specPosR<uRow+halfSize && specPosC<lCol+halfSize) chessBoard(uRow, lCol, specPosR, specPosC, halfSize); //如果其他情况 else { board[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize-1] = stI.top(); //因为特殊位置不在,所以可以选择任意一个空格填充,但是本算法只填充左上角(也许不止一个格,也许有很多个格子)区域的右下角。大家仔细查一下,就知道下标[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize-1]是本区域中最右下角的一个格子的下标号。 chessBoard(uRow, lCol, uRow+halfSize-1, lCol+halfSize-1, halfSize); //然后是递归填充这个区域的其他空白格子。因为上一句已经填充了[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize-1]这个格子,所以,这个下标作为特殊位置参数传递进chessBoard中。 } //2右上角区域,解析类上 if(specPosR<uRow+halfSize && specPosC>=lCol+halfSize) chessBoard(uRow, lCol+halfSize, specPosR, specPosC, halfSize); else { board[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize] = stI.top(); chessBoard(uRow, lCol+halfSize, uRow+halfSize-1, lCol+halfSize, halfSize); } //3左下角区域,类上 if(specPosR>=uRow+halfSize && specPosC<lCol+halfSize) chessBoard(uRow+halfSize, lCol, specPosR, specPosC, halfSize); else { board[uRow+halfSize][lCol+halfSize-1] = stI.top(); chessBoard(uRow+halfSize, lCol, uRow+halfSize, lCol+halfSize-1, halfSize); } //4右下角区域,类上 if(specPosR>=uRow+halfSize && specPosC>=lCol+halfSize) chessBoard(uRow+halfSize, lCol+halfSize, specPosR, specPosC, halfSize); else { board[uRow+halfSize][lCol+halfSize] = stI.top(); chessBoard(uRow+halfSize, lCol+halfSize, uRow+halfSize, lCol+halfSize, halfSize); } stI.pop();//本次骨牌号填充了三个格,填充完就出栈
} void test()
{ //初始化数组 for(int i=0; i<4; i++) { board[i].resize(4); } chessBoard(0, 0, 3, 3, 4); //特殊位置填充0 board[3][3] = 0; //序列输出 for(int j=0; j<4; j++) { for(int i=0; i<4; i++) cout<<board[j][i]<<"\t"; cout<<endl; } cout<<endl;
} int main()
{ test(); return 0;
}
参考自:zhwhong
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