通过3SAT证明支配集是NPC问题

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本文介绍如何通过3SAT归约，进而证明支配集是NPC问题。

3SAT问题

→ \rightarrow → 3-Satisfiability (3Sat)

给定一个有穷的布尔变量集合 X = { x 1 , x 2 , … , x n } X=\lbrace x_1,x_2,\ldots,x_n \rbrace X={x1,x2,…,xn}，变量 x i x_i xi取值为1或者0，另有一组子句 C = { c 1 , c 2 , … , c m } C=\lbrace c_1,c_2,\ldots,c_m \rbrace C={c1,c2,…,cm}， C = c 1 ∧ c 2 ∧ … ∧ c m \mathbb{C}=c_1\wedge c_2 \wedge \ldots \wedge c_m C=c1∧c2∧…∧cm， c i = x j ∨ x k ∨ x l c_i = x_j \vee x_k \vee x_l ci=xj∨xk∨xl。求是否存在一组取值使得 C \mathbf{C} C为真，即任意 c i c_i ci为真。

Dominating Set(支配集)

→ \rightarrow → Dominating Set

给定图 G G G，正整数 k k k，是否存在dominating set的大小最多为 k k k。
Dominating Set D D D是点集 V V V的一个子集，并且对于不在 D D D中的点 v v v，至少存在一条边 ( u , v ) ∈ E (u,v)\in E (u,v)∈E， u ∈ D u\in D u∈D。

解题思路：

我们知道将支配集归约到3SAT进而证明3SAT是NPC是很容易的。CSCI5320的习题里，要进行相反方向的归约，将3SAT的问题转化成支配集的问题进行求解，相对来说比较难。

对于每个变量 x i x_i xi，我们都构造两个点， x i x_i xi和 x i ‾ \overline{x_i} xi，以及一条边 ( x i , x i ‾ ) (x_i,\overline{x_i}) (xi,xi)
对于 c i c_i ci当中的三个变量 x j ∨ x k ∨ x l x_j \vee x_k \vee x_l xj∨xk∨xl，我们构造一个点 c i c_i ci，三条边 ( x j , c i ) (x_j,c_i) (xj,ci), ( x k , c i ) (x_k,c_i) (xk,ci)和 ( x l , c i ) (x_l,c_i) (xl,ci)。如果布尔表达式取反，那么我们可以对应的连接 ( x j ‾ , c i ) (\overline{x_j},c_i) (xj,ci)。
最关键的一步，我们如何确保 x i x_i xi, x i ‾ \overline{x_i} xi恰好有且仅有一个点落在支配集里。我们增加一个点 y i y_i yi，并且添加两条边 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)与 ( x i ‾ , y i ) (\overline{x_i},y_i) (xi,yi)。

那么我们可以知道 C \mathbb{C} C可满足当且仅当上述构造的图中有一个大小 m m m的支配集。

证明：

当 C \mathbb{C} C可满足时，显而易见，对应取真的变量构成一个支配集。
当上述构造的图中有一个大小为 m m m的支配集时，因为 ( x i , x i ‾ , y i ) (x_i,\overline{x_i},y_i) (xi,xi,yi)三个点当中最少有一个点在支配集当中，所以支配集的大小最小为 m m m。那么我们可以得到结论 ( x i , x i ‾ , y i ) (x_i,\overline{x_i},y_i) (xi,xi,yi)三个点恰好有且仅有一个点在支配集当中。当 y i y_i yi在支配集当中时，我们总可以由 ( x i , x i ‾ ) (x_i,\overline{x_i}) (xi,xi)当中的一个点来替换。那么由此便可得到一个令 C \mathbb{C} C可满足的取值。

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