九大背包问题专题--有依赖的背包问题（树形Dp结合）

9.有依赖的背包问题

问题：
有N件物品和一个容量是V的背包。

物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。
如图所示

如果选择物品5，则必须选择物品1和2，这是因为2是5的父节点，1是2的父节点。
每件物品的编号是i，体积是vi，价值是wi，依赖的父节点编号是pi。物品的下标范围是1…N.

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包的容量，且价值总和最大。
输出最大价值

输入格式
第一行有两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品个数、背包容量。

接下来有N行，每行数据表示一个物品
第i行有三个整数vi，wi，pi，用空格隔开，分别表示物品的体积、价值和依赖的物品编号。
如果pi=-1，表示根节点，数据保证所有物品构成一棵树。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值

数据范围
1<N，V<=100
0<vi,wi<=100
父节点编号范围：
内部节点：1<=pi<=N;
根节点：pi=-1;

输入样例
5 7
2 3 -1
2 2 1
3 5 1
4 7 2
3 6 2

输出样例
11

分析思路：

背包和树形Dp结合（转化为分组背包问题）

每个结点，把它们对应的子节点都递归计算一下，算出每个子节点不同体积下的最大价值；,每个子节点都是一个物品组，不同体积对应到不同组；整个组里面只能选择一个物品

f[i][j]表示选结点i的情况下，所用的体积是j的情况下，以i为根的整棵子树的最大价值是多少

从上往下递归求解，每做完一个结点，先把它的所有子节点的f[i][j]都算出，每个子节点对应在不同体积下，它们要对应的价值

for(int j=m-v[u];j>=0;j--) //枚举体积 ，（m减当前物品的体积）留一个空位，从大到小（只能选一次） 若体积大于等于当前物品体积，需要在之前空出的位置，把这个物品加进去
f[u][i-v[u]]+w[u];更新的价值若体积小于等于当前物品体积，整个子树一个节点都不选择（依赖性）for(int k=0;k<=j;k++)  //枚举物品组里面的每个物品 f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[son][k]); //更新，看做一维 //每个节点都会有一个f[j],把f[u][j]看做01背包的f

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;const int N=110;
int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int v[N],w[N],f[N][N];void add(int a,int b){e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs(int u)
{  //先把所有的子节点都算出来 for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){ //先枚举物品组 int son=e[i];dfs(son); //每个子节点都是一个物品组 //这里的物品必须要选择 ，依赖性 for(int j=m-v[u];j>=0;j--) //枚举体积 ，留一个空位，从大到小（只能选一次） for(int k=0;k<=j;k++)  //枚举物品组里面的每个物品 f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[son][k]); //更新，看做一维 //每个节点都会有一个f[j],把f[u][j]看做01背包的f }for(int i=m;i>=v[u];i--)f[u][i-v[u]]+w[u];for(int i=0;i<v[u];i++)f[u][i]=0;
}
int main(){memset(h,-1,sizeof h);cin>>n>>m;int root;for(int i=1;i<=n;i++){int p;cin>>v[i]>>w[i]>>p;if(p==-1)root=i;else add(p,i); }dfs(root);cout<<f[root][m]<<endl; //初始化的时候把所有体积都初始化为0,表示体积最多是m的情况下，最大价值为多少 return 0;
}

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