[NOI2022] 众数题解

题目描述

对于一个序列，定义其众数为序列中出现次数严格大于一半的数字。注意该定义与一般的定义有出入，在本题中请以题面中给出的定义为准。
一开始给定 nnn 个长度不一的正整数序列，编号为 1∼n1 \sim n1∼n，初始序列可以为空。这 nnn 个序列被视为存在，其他编号对应的序列视为不存在。有 qqq 次操作，操作有以下类型:

1xy1 \ x \ y1 x y：在 xxx 号序列末尾插入数字 yyy。保证 xxx 号序列存在，且 1≤x,y≤n+q1 \le x, y \le n + q1≤x,y≤n+q。
2x2 \ x2 x：删除 xxx 号序列末尾的数字，保证 xxx 号序列存在、非空，且 1≤x≤n+q1 \le x \le n + q1≤x≤n+q。
3mx1x2xm3 \ m \ x_1 \ x_2 \ x_m3 m x1 x2 xm：将 x1,x2,…,xmx_1, x_2, \ldots, x_mx1,x2,…,xm 号序列顺次拼接，得到一个新序列，并询问其众数。如果不存在满足上述条件的数，则返回 −1-1−1。数据保证对于任意 1≤i≤m1 \le i \le m1≤i≤m，xix_ixi 是一个仍然存在的序列，1≤xi≤n+q1 \le x_i \le n + q1≤xi≤n+q，且拼接得到的序列非空。注意：不保证 x1,…,xm{x_1, \ldots, x_m}x1,…,xm 互不相同，询问中的合并操作不会对后续操作产生影响。
4x1x2x34 \ x_1 \ x_2 \ x_34 x1 x2 x3：新建一个编号为 x3x_3x3 的序列，其为 x1x_1x1 号序列后顺次添加 x2x_2x2 号序列中数字得到的结果，然后删除 x1,x2x_1, x_2x1,x2 对应的序列。此时序列 x3x_3x3 视为存在，而序列 x1,x2x_1, x_2x1,x2 被视为不存在，在后续操作中也不会被再次使用。保证 1≤x1,x2,x3≤n+q1 \le x_1, x_2, x_3 \le n + q1≤x1,x2,x3≤n+q、x1≠x2x_1 \ne x_2x1=x2、序列 x1,x2x_1, x_2x1,x2 在操作前存在、且在操作前没有序列使用过编号 x3x_3x3。

输入输出格式

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 nnn 和 qqq，分别表示数列的个数和操作的次数，保证 n≤5×105n \le 5 \times {10}^5n≤5×105、q≤5×105q \le 5 \times {10}^5q≤5×105。
接下来 nnn 行，第 iii 行表示编号为 iii 的数列。
每一行的第一个非负整数 lil_ili 表示初始第 iii 号序列的数字个数，接下来有 lil_ili 个非负整数 ai,ja_{i,j}ai,j 按顺序表示数列中的数字。
假定 Cl=∑liC_l = \sum l_iCl=∑li 代表输入序列长度之和，则保证 Cl≤5×105C_l \le 5 \times {10}^5Cl≤5×105、ai,j≤n+qa_{i,j} \le n + qai,j≤n+q。
接下来 qqq 行，每行若干个正整数，表示一个操作，并按照题面描述中的格式输入。
假定 Cm=∑mC_m = \sum mCm=∑m 代表所有操作 333 需要拼接的序列个数之和，则保证 Cm≤5×105C_m \le 5 \times {10}^5Cm≤5×105。

输出格式

对于每次询问，一行输出一个整数表示对应的答案。

solution

这个题：我们可以不是很显然地知道：众数为中位数。。。。。

浅浅地证明一下啊：

若众数在最左边

∵众数为序列中出现次数严格大于一半的数字

∴a[1→ed]=same，ed−1+1(len众数)≥12lenalla[1\to ed]=same，ed-1+1(len_{众数})≥\frac{1}{2}len_{all}a[1→ed]=same，ed−1+1(len众数)≥21lenall

∴1≤mid<ed1≤mid<ed1≤mid<ed

∴a[mid]=a[1]a[mid]=a[1]a[mid]=a[1]

即中位数=众数

若众数在最右边，同理可得中位数=众数

若在中间：

若众数为a[w]a[w]a[w]

len>midlen>midlen>mid

∴a[w→w+len]=samea[w\to w+len]=samea[w→w+len]=same

又∵w+len≤nw+len≤nw+len≤n

∴w<midw<midw<mid

又因为w+len>midw+len>midw+len>mid

∴a[mid]=a[w]a[mid]=a[w]a[mid]=a[w]

综上所述，众数为中位数

证毕。

so，我们可以开一个权值线段树来统计序列中数的个数

用链表来存序列。。。。。。。。。。

权值线段树

权值线段树即一种线段树，以序列的数值为下标。
权值线段树维护一列数中数的个数。

也就是说，我们的权值线段树就是用线段树维护了一堆桶。

这就是权值线段树的概念。

权值线段树维护的是桶，按值域开空间，维护的是个数。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=4e6+2;
int n;//初始 有多少链表
int q;//询问个数
int m;//询问3链表的个数
int que[N];// 询问3的第i个链表的id
int lst[N];//询问3的第i个链表的rt值
int lim;//总共有多少链表
int hd[N];//i链表的头头
int tl[N];//i链表的尾巴
int pre[N];//i的前面一个
int val[N];//第i个数的值
int tot;//加入数的id
ll sz[N];//i链表的size大小
int rt[N];//i链表在线段树上的rt
int lc[N],rc[N];//线段树i的左右儿子
int ttt;//线段树节点（动态开点）
ll sum[N];//i的个数（线段树）
int x,op,id,y;
void addlink(int id,int x){//在链表后加上x if(!sz[id]) hd[id]=x;//x就是id链表的第一个元素（ta就是头头） sz[id]++;//链表大小更新 pre[x]=tl[id];//x的前一个就是id链表之前的尾巴 tl[id]=x;//新尾巴
}
void dellink(int id){//删去链表末尾 sz[id]--;// 链表大小更新if(!sz[id]) hd[id]=0;//id链表没了。。 tl[id]=pre[tl[id]];//尾巴就是尾巴的前一个
}
void link(int x,int y,int id){//链表合并 if(sz[x])hd[id]=hd[x];//id的头头就是x的头头 else hd[id]=hd[y];//但是如果xGG了话就是y的头头了 if(sz[y])tl[id]=tl[y];//id的尾巴就是y的尾巴  else tl[id]=tl[x];//但是如果yGG了话就是x的尾巴了 sz[id]=sz[x]+sz[y];//id的大小就是x和y加起来 if(hd[y]) pre[hd[y]]=tl[x];//xy首位拼接
}
void pushup(int p){sum[p]=sum[lc[p]]+sum[rc[p]];//sum数组更新
}
void update(int &p,int l,int r,int w,ll v){if(!p){p=++ttt; //动态开点 } //懂？ if(l==r){//找到啦 sum[p]+=v;return ;}int mid=(l+r)>>1;if(w<=mid) update(lc[p],l,mid,w,v);//在左边 else update(rc[p],mid+1,r,w,v);//在右边 pushup(p);
}
int merge(int x,int y,int l,int r){if(!x||!y) return (x+y);//有一个已经GG了 if(l==r){// sum[x]+=sum[y];return x;}int mid=(l+r)>>1;lc[x]=merge(lc[x],lc[y],l,mid);rc[x]=merge(rc[x],rc[y],mid+1,r);pushup(x);//合并合并 afasdfasd return x;
}
ll getsum(int p,int l,int r,int L){//L出现的次数 if(!p) return 0;if(l==r) return sum[p];//you got it! int mid=(l+r)>>1;if(L<=mid) return getsum(lc[p],l,mid,L);return getsum(rc[p],mid+1,r,L);
}
int query(int l,int r,int k){//二分 中位数 if(l==r) return l;ll tmp=0;for(int i=1;i<=m;i++){tmp+=sum[lc[lst[i]]];}int mid=(l+r)>>1;if(tmp>=k){//在← for(int i=1;i<=m;i++){lst[i]=lc[lst[i]];} return query(l,mid,k);}else{for(int i=1;i<=m;i++){lst[i]=rc[lst[i]];} return query(mid+1,r,k-tmp);}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&q);lim=n+q;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&m);for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&x);val[++tot]=x;addlink(i,tot);update(rt[i],1,lim,x,1); }}while(q--){scanf("%d",&op);if(op==1){scanf("%d%d",&id,&x);val[++tot]=x;addlink(id,tot);//链表末尾加上x(val[tot]) update(rt[id],1,lim,x,1);//cnt[x]+1 } else if(op==2){scanf("%d",&id);update(rt[id],1,lim,val[tl[id]],-1);//cnt[val[链表id末尾tl[id]]]-1 dellink(id);//删去链表末尾 } else if(op==3){scanf("%d",&m);ll all=0;//合并后数组长度for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d",&que[i]);//第i个数组lst[i]=rt[que[i]];//第i个数组的头头all+=sz[que[i]];//总长 } int xx=query(1,lim,(all+1)>>1);ll tmp=0;//tmp:中位数xx出现的个数 for(int i=1;i<=m;i++){tmp+=getsum(rt[que[i]],1,lim,xx);//xx在第i个数组中出现的次数 }if((tmp<<1)>all) printf("%d\n",xx);//ok啊 else printf("-1\n"); //不ok } else{scanf("%d%d%d",&x,&y,&id);link(x,y,id);//合并两链表 rt[id]=merge(rt[x],rt[y],1,lim); //合并线段树 }}return 0;
}

完结撒花❀
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