用python计算基金内部收益率-基于scipy科学计算库的数值解

最近在计算基金内部收益率的时候首先选择的是用纯python编写的sympy科学计算库，sympy在计算常微分方程，偏微分方程，一般线性方程组以及取微分、积分、极限等方面依靠其强大的符号体系游刃有余，并且编程语法更简单易懂，但是当用其求解高阶非线性方程的时候就暴露出python运行速度慢的短板，而在求解基金内部收益率的时候往往样本区间数据量很多，比如本文接下来将要采用的这支基金的数据就有80期。(其实我之前写完代码点击运行之后就去睡觉了，第二天起来仍然没有算出结果，可以说python面对这种问题从来不耽误人睡觉休息)
其实python的numpy库已经内置了内部收益率计算函数，可以直接调用numpy.irr([NCF],round(n))。（就不要追问我写这篇博客的意义在哪里了！）接下来本文将会展示调用scipy.optimize最优化函数求内部收益率的高阶非线性方程的数值解。
开始之前，需要介绍一下基金内部收益率(Internal Rate of Return, IRR)的计算方法，基金内部收益率的计算需要用到基金期末、期初的总净值(Total Net Asset, TNA)和各期现金流(Net Cash Flow, NCF)，其计算公式如下：
TNA0(1+IRR)T+∑t=1TNCFt(1+IRR)(T−t)=TNAT(1)TNA_0{(1+IRR)^T}+\sum_{t=1}^TNCF_t{(1+IRR)^{(T-t)}}=TNA_T \tag{1}TNA0(1+IRR)T+t=1∑TNCFt(1+IRR)(T−t)=TNAT(1)
其中NCFtNCF_tNCFt的计算为：
NCFt=TNAt−TNAt−1(1+Rt)(2)NCF_t=TNA_t-TNA_{t-1}(1+R_t)\tag{2}NCFt=TNAt−TNAt−1(1+Rt)(2)
这里的RtR_tRt表示的是基金第ttt期的收益率，TNA0TNA_0TNA0和TNATTNA_TTNAT分别为基金期初的总资产净值和期末的总资产净值。可见利用python的求解内部收益率IRRIRRIRR速度主要就取决于TTT的大小。
首先，展示本文所使用到的数据，数据已经上传到百度云盘(提取码：6whe)。

导入数据，这里所使用的是基金月度的单月回报RRR和单月总净值TNATNATNA。

>>>import pandas as pd
...Fund=pd.read_csv("C:\\Users\\psj\\Desktop\\Fund.csv",index_col="Date",header=0)
...Fund.index=pd.to_datetime(Fund.index)
>>>print(Fund.tail())R          TNA
Date
2019-07-31  0.029619  14488.49821
2019-08-30  0.001370  14508.34547
2019-09-30  0.024624  17798.16869
2019-10-31 -0.006676  17679.35582
2019-11-29 -0.012097  17465.49264

这里的T=80T=80T=80，当然如果有好奇用sympy求解内部收益率到底是什么情况的小伙伴，在本文末尾我将展示用sympy计算内部收益率的代码。
按照公式(2)计算出基金各期的净现金流NCFtNCF_tNCFt

NCF=Fund.TNA-Fund.TNA.shift(1)*(1+Fund.R)
...print(NCF.head())
Date
2013-03-29             NaN
2013-04-26        0.000013
2013-05-31       -0.000081
2013-06-28       -0.000014
2013-07-31   -59842.034588
dtype: float64

Python的科学计算库scipy的优化器optimize中提供了基于hybrd和hybrj算法的内置函数fsolve，可以求高阶的非线性方程的数值解。这里需要设定求解内部收益率的方程，其实就是基于本文的数据按照公式(1)编写函数

def func(x):function=Fund.TNA[0]*(1+x)**(len(NCF)-1)-Fund.TNA[-1]#len(NCF)包括了NaN空值for i in range(1,len(NCF)):   #由于NCF的第一期值为空function+=NCF[i]*(1+x)**(len(NCF)-i-1) #i只能取到(len(NCF)-1)return function

fsolve(func,x0)主要有两个参数，func为被求解方程，方程的等号右边为0，左边就是上面所定义的函数；x0为方程func的初始值，以列表的新式输入，返回值也为列表形式。将初始值设定为0，求解最终得到基金的内部收益率为-0.00419273。

from scipy.optimize import fsolve
root=fsolve(func,[0]) # x的初始值设为0，需要用list的形式输入
>>>print(root)
[-0.00419273]

由于fsolve在优化过程中采用迭代的方式求解非线性方程的数值解，所以我们只得到了一个解，熟悉一元二次抛物线方程的小伙伴都知道这类方程的未知数xxx最高次有几次就会有多少个解，如果是严格按照这种方法求解，我们应该得到80个解，当然其中包括了复数解。求出这80个解其实是没有必要的，而纯python编写的科学计算库sympy就可以做到，先附上代码

import pandas as pd
import sympy as sy
Fund=pd.read_csv("C:\\Users\\psj\\Desktop\\Fund.csv",index_col="Date",header=0)
Fund.index=pd.to_datetime(Fund.index)
NCF=Fund.TNA-Fund.TNA.shift(1)*(1+Fund.R)
x=sy.symbols("x")
f=Fund.TNA[0]*(1+x)**(len(NCF)-1)-Fund.TNA[-1]
for j in range(1,len(NCF)):f=f+NCF[j]*(1+x)**(len(NCF)-j-1)
result=sy.solve(f,x)
print(result)

要得到运行结果可能是很久之后的事情了，当然也不是本人写的代码有bug算不出来，当我们把TTT设定为5时，只需要一段小小的等待就能得到方程的全部5个解。

Fund=Fund.iloc[:6,:]
NCF=Fund.TNA-Fund.TNA.shift(1)*(1+Fund.R)
x=sy.symbols("x")
f=Fund.TNA[0]*(1+x)**(len(NCF)-1)-Fund.TNA[-1]
for j in range(1,len(NCF)):f=f+NCF[j]*(1+x)**(len(NCF)-j-1)
result=sy.solve(f,x)
>>>print(result)
[-0.00685850972132560, -1.62439354544479 - 0.206726589366808*I, -1.62439354544479 + 0.206726589366808*I, -0.872177199759201 - 0.925545835792086*I, -0.872177199759201 + 0.925545835792086*I]

最后，我们可以发现采用sympy.solve()求解得到的内部收益率只有第一个是实数，其余全部为复数，这在我之前的实践当中也得到了反复验证，所以可见采用数值计算是完全合理科学高效的。

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