0.引言

在读文献的时，经常遇到这样的情况：文章里提出的方法好有趣啊，好想拿文中用的数据来试试看看能不能得到相近的结果，可是文中只有根据原始数据绘制的曲线图，没有数据。如下图所示。

此时，如果能从文中把这幅图截取下来，输入到一个函数中去，最后能返回从图片中提取到的曲线的坐标数据，岂不美哉。

这便是本文的工作。

1.思路详解与分析

1.1准备待提取数据的曲线图片

将待提取数据的曲线的图片(如.jpg格式图片)，利用imread输入到matlab中。

1.2曲线图片预处理与数据转换

曲线图片预处理步骤的主要工作包含如下：

(1)图像二值化

将输入图像进行二值化处理，但分割得到的结果并不全为数据，其中可能还包括坐标轴等干扰点需要去除。

(2)获取从图片像素到曲线坐标的定标数据

首先，通过ginput()手动从图片中提取到两个像素点，这两个点分别为曲线坐标框的左上角和右下角。

此时,便获得了曲线在图片上的像素范围

[x_index_min, x_index_max] & [y_index_min, y_index_max]

然后，手动输入实际曲线的数据坐标范围 [x_min, x_max] & [ymin, y_max]. 如下所示。

此时，一方面得到了像素坐标，一方面得到了实际坐标。接下来便利用这对数据，将图片中全部的像素坐标转换到实际坐标。

最终，得到了由图片提取到的数据散点图，如下

可以看到，此时得到的结果，虽然曲线与所需要的相近，但曲线外的部分，如坐标轴框、坐标轴刻度等也被转换成了数据，还需要进一步的处理。

1.3数据的进一步处理并得到最终曲线

这一步的主要工作是在数据中除去曲线之外的部分(包括坐标轴框、坐标轴刻度等)；以及解决一个x数据对应多个y数据的情况。

显然，坐标轴在整幅数据中，均处于边界位置，因此，很容易想到的一种方法是，设定阈值，将距离边界较近的数据直接删除。这里，设定了两个阈值，一个用来限定x方向上的数据，一个用来限定y方向上的数据。比如设定：rate_x=0.08; rate_y=0.05; 意思是阈值设定为曲线最前端8%和最后段8%的数据，曲线最顶端5%和最底端5%的数据。

进一步的，对于提取到的数据图，大多数情况一个x会对应若干y，因为数据是由图片转化而来，而图片的分辨率有限，一个实际数据点会用多个像素来表示。解决此问题的中心思想是将同一个x对应的若干个y取均值，但不能直接求均值，因为还有很多y是噪声(如坐标轴线、由图片噪声带入的干扰点等)需要先去除，在第一个问题中，通过限定y的范围，已经在一定程度上除去了部分干扰，在此基础上，我们求取一个x对应的这组y值的均值mean与标准差std，当某些y值位于[mean-std , mean+std]之外，则认为这些y值波动太大，将它们删去。

到这里，我们就将数据的处理部分基本完成了，我们将处理后的数据再次绘制成曲线，便可以得到如下

对比处理之前的数据，由于限定了范围，因此曲线图片中带来的坐标框等内容转化而来的数据已经被删去。

将需要提取坐标的曲线图片，和我们提取并处理后的数据绘制的曲线，放在一起对比如下：

可以看到，与原曲线图片相比，提取到的数据曲线相似度能达到较高要求。但进一步观察会发现，右图曲线较左图而言，高频分量有一定的减少(即右图曲线更平滑)，原因在于数据处理时，对同一个x对应的这组y值进行了均值处理，则在图像上近似反应为均值滤波，从而使得提取到的数据绘制成的曲线的高频分量被滤除。

最后，将提取到的最终数据，保存起来如下：

1.4进一步的讨论——曲线拟合

通过对图片中曲线的数据提取，可以得到数值上的答案，这会带来进一步的思考，即能否得到这些数据的解析表达式。很容易想到，利用最小二乘法来拟合这些数据，这便涉及到了曲线的拟合。(插值与拟合可以这么理解：对于数据点集，若均落在曲线上，则该曲线为插值曲线，否则为拟合曲线)

对于一些简单的曲线图片(如下)，可以考虑用泰勒级数来近似，即多项式拟合。

数据提取并拟合的结果展示如下

同时还能得到拟合多项式的系数

从而得到该曲线的多项式(这里采用四阶多项式)表达式为:

理论上，泰勒级数可以分解任何函数，但实际上，多项式拟合的次数太高，会出现龙格库塔现象，即摆尾现象。因此，多项式拟合的阶数不易过高，一般低于5阶。对于本文最开始的那幅曲线而言，仅5阶的泰勒级数就显得力不从心了，因此，对于这种存在波动剧烈的函数，可以考虑用傅里叶级数进行拟合，或者如果能提供先验知识，可以直接用先验表达式进行拟合。

在MATLAB中，提供了cftool工具箱，其提供了拟合与插值的GUI，使用非常方便，直接在命令窗输入cftool即可调用，cftool界面如下所示，其具体使用方法不在此赘述。

2.MATLAB程序

MATLAB源代码如下所示，和以往的风格一样，提供了详细的注释

% 提取图片中的曲线数据

clear,clc,close all

%% 图片与曲线间的定标

im=imread('tu1.jpg');%读入图片(替换成需要提取曲线的图片)

im=rgb2gray(im);%灰度变化

thresh = graythresh(im);%二值化阈值

im=im2bw(im,thresh);%二值化

set(0,'defaultfigurecolor','w')

imshow(im)%显示图片

[y,x]=find(im==0);%找出图形中的“黑点”的坐标。该坐标是一维数据。

y=max(y)-y;%将屏幕坐标转换为右手系笛卡尔坐标

y=fliplr(y);%fliplr()——左右翻转数组

plot(x,y,'r.','Markersize', 2);

disp('请在Figrure中先后点击实际坐标框的两个顶点(左上点和右下点)，即A、B两点. ');

[Xx,Yy]=ginput(2);%Xx,Yy——指实际坐标框的两个顶点

min_x=input('最小的x值');%输入x轴最小值

max_x=input('最大的x值');%输入x轴最大值

min_y=input('最小的y值');%输入y轴最小值

max_y=input('最大的y值');%输入y轴最大值

x=(x-Xx(1))*(max_x-min_x)/(Xx(2)-Xx(1))+min_x;

y=(y-Yy(1))*(min_y-max_y)/(Yy(2)-Yy(1))+max_y;

plot(x,y,'r.','Markersize', 2);

axis([min_x,max_x,min_y,max_y])%根据输入设置坐标范围

title('由原图片得到的未处理散点图')

%% 将散点转换为可用的曲线

%需处理的问题与解决思路

%(1)散点图中可能一个x对应好几个y 保留mean()-std()到mean()+std()之间的y值 并取平均处理

%(2)曲线的最前端和最后段干扰较大 去掉曲线整体的前(如5%)和后5%

%(3)曲线的最顶端和最底段干扰较大 去掉曲线整体的上10%和下10%

%参数预设

rate_x=0.08;%曲线的最前端和最后段删除比例

rate_y=0.05;%曲线的最顶端和最底段删除比例

[x_uni,index_x_uni]=unique(x);%找出有多少个不同的x坐标

x_uni(1:floor(length(x_uni)*rate_x))=[];%除去前rate_x(如5%)的x坐标

x_uni(floor(length(x_uni)*(1-rate_x)):end)=[];%除去后rate_x的x坐标

index_x_uni(1:floor(length(index_x_uni)*rate_x))=[];%除去前rate_x的x坐标

index_x_uni(floor(length(index_x_uni)*(1-rate_x)):end)=[];%除去后rate_x的x坐标

[mxu,~]=size(x_uni);

[mx,~]=size(x);

for ii=1:mxu

if ii==mxu

ytemp=y(index_x_uni(ii):mx);

else

ytemp=y(index_x_uni(ii):index_x_uni(ii+1));

end

%删除方差过大的异常点

threshold1=mean(ytemp)-std(ytemp);

threshold2=mean(ytemp)+std(ytemp);

ytemp(find(ytemp

ytemp(find(ytemp>threshold2))=[];

%删除距顶端和底端较近的点

thresholdy=(max_y-min_y)*rate_y;%y坐标向阈值

ytemp(find(ytemp>max_y-thresholdy))=[];%删除y轴向距离顶端与底端距离小于rate_y的坐标

ytemp(find(ytemp

%剩下的y求均值

y_uni(ii)=mean(ytemp);

end

%此时很多x_uni点处对应的y_uni为空,即NAN,要进一步删去这些空点

x_uni(find(isnan(y_uni)))=[];

y_uni(find(isnan(y_uni)))=[];

%画图

figure,plot(x_uni,y_uni),title('经处理后得到的扫描曲线')

axis([min_x,max_x,min_y,max_y])%根据输入设置坐标范围

% 将最终提取到的x与y数据保存

curve_val(1,:)=x_uni';

curve_val(2,:)=y_uni;

%% 对提取出的数据进行拟合(按实际情况进行修改)

[p,s]=polyfit(curve_val(1,:),curve_val(2,:),4);%多项式拟合(为避免龙格库塔,多项式拟合阶数不宜太高)

[y_fit,DELTA]=polyval(p,x_uni,s);%求拟合后多项式在x_uni对应的y_fit值

figure,plot(x_uni,y_fit),title('拟合后的曲线')

axis([min_x,max_x,min_y,max_y])%根据输入设置坐标范围