常用公式

常用穷小替换

x=>sin⁡x=>tan⁡x=>arcsin⁡x=>arctan⁡x=>ln⁡(x+1)=>ex−1x=>\sin x=>\tan x=>\arcsin x=>\arctan x=>\ln (x+1)=>e^x-1x=>sinx=>tanx=>arcsinx=>arctanx=>ln(x+1)=>ex−1
(x+1)a−1=>ax(x+1)^a-1=>ax(x+1)a−1=>ax
ax−1=>xln(a)a^x-1=>xln(a)ax−1=>xln(a)
1−cos⁡x=>12x21-\cos x=>\frac{1}{2}x^21−cosx=>21x2
tan⁡x−sin⁡x=>tan⁡x(1−cos⁡x)=>12x3\tan x-\sin x=>\tan x(1-\cos x)=>\frac{1}{2}x^3tanx−sinx=>tanx(1−cosx)=>21x3

常用泰勒展开式

x−f(x)x-f(x)x−f(x)展开
x−sin⁡x=16x3+o(x3)x-\sin x=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)x−sinx=61x3+o(x3)
x−arcsin⁡x=−16x3+o(x3)x-\arcsin x=-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)x−arcsinx=−61x3+o(x3)
x−tan⁡x=−13x3+o(x3)x-\tan x=-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)x−tanx=−31x3+o(x3)
x−arctan⁡x=13x3+o(x3)x-\arctan x=\frac{1}{3}x^3+o(x^3)x−arctanx=31x3+o(x3)
三角函数展开
ex=1+x+x22!+x33!+o(x3)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)ex=1+x+2!x2+3!x3+o(x3)
sin⁡x=x−x33!+x55!+o(x5)\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)sinx=x−3!x3+5!x5+o(x5)
cos⁡x=1−x22!+x44!+o(x4)\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)cosx=1−2!x2+4!x4+o(x4)
ln⁡(x+1)=x−12x2+13x3+o(x3)\ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)ln(x+1)=x−21x2+31x3+o(x3)

常用微分公式

dtan⁡x=(sec⁡x)2dxd\tan x=(\sec x)^2dxdtanx=(secx)2dx
dcot⁡x=−(csc⁡x)2dxd\cot x=-(\csc x)^2dxdcotx=−(cscx)2dx
dsec⁡x=sec⁡xtan⁡xdxd\sec x=\sec x\tan xdxdsecx=secxtanxdx
dcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡xdxd\csc x=-\csc x\cot xdxdcscx=−cscxcotxdx
darcsin⁡x=11−x2dxd\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dxdarcsinx=1−x21dx
darccos⁡x=−11−x2dxd\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dxdarccosx=−1−x21dx
darctan⁡x=11+x2dxd\arctan x=\frac{1}{1+x^2}dxdarctanx=1+x21dx
darcotx=−11+x2dxdarcot x=-\frac{1}{1+x^2}dxdarcotx=−1+x21dx

常用高阶导数公式

(eax)(n)=anean(e^{ax})^{(n)}=a^ne^{an}(eax)(n)=anean
(sin⁡ax)(n)=ansin⁡(ax+nΠ2)(\sin ax)^{(n)}=a^n\sin (ax+n\frac{\Pi}{2})(sinax)(n)=ansin(ax+n2Π)
(cos⁡ax)(n)=ancos⁡(ax+nΠ2)(\cos ax)^{(n)}=a^n\cos (ax+n\frac{\Pi}{2})(cosax)(n)=ancos(ax+n2Π)
(ln⁡(1+x))(n)=(−1)n−1(n−1)!(x+1)n(\ln (1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+1)^n}(ln(1+x))(n)=(−1)n−1(x+1)n(n−1)!
(1x)(n)=(−1)nn!xn+1(\frac{1}{x})^{(n)}=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}(x1)(n)=(−1)nxn+1n!

莱布尼茨公式
(uv)(n)=u(n)v+Cn1u(n−1)v+Cnku(n−k)v(k)+uvn(uv)^{(n)}=u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v+C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}+uv^{n}(uv)(n)=u(n)v+Cn1u(n−1)v+Cnku(n−k)v(k)+uvn

常用积分公式

∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan xdx=-\ln|\cos x|+C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C
∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot xdx=\ln|\sin x|+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec xdx=\ln\left|\sec x+\tan x\right|+C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\int \csc x dx=\ln\left|\csc x-\cot x\right|+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
∫sec⁡2(x)dx=tan⁡x+C\int \sec^2(x)dx=\tan x+C∫sec2(x)dx=tanx+C
∫csc⁡xdx=cot⁡x+C\int \csc xdx=\cot x+C∫cscxdx=cotx+C
∫1a2+x2dx=1atan⁡(1ax)+C\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\tan(\frac{1}{a}x)+C∫a2+x21dx=a1tan(a1x)+C
∫1a2−x2dx=12aln⁡∣a+xa−x∣+C\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C∫a2−x21dx=2a1ln∣∣a−xa+x∣∣+C
∫1a2−x2dx=arcsin⁡1ax\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{1}{a}x∫a2−x21dx=arcsina1x
∫1x2±a2dx=ln⁡∣x+x2±a2∣+C\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C∫x2±a21dx=ln∣x+x2±a2∣+C
∫ln⁡xdx=xln⁡x−x+C\int \ln xdx=x\ln x-x+C∫lnxdx=xlnx−x+C

Mathmatica常用命令

Solve[x^2 + a x + 1 == 0, x]求方程的解
Integrate[f,x,x_min,x_max]求定积分和不定积分
Limit[Sin[x]/x, x -> 0]求极限

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常用泰勒、微积分公式