直观理解偏导数、方向导数和法向量和梯度
转自:直观理解梯度,以及偏导数、方向导数和法向量等 - shine-lee - 博客园
一、隐函数
显函数:解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时,称为显函数。显函数可以用y=f(x)来表示。
隐函数:如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是度隐函数。
隐函数与显函数的区别:
1) 隐函数不一定能写为y=f(x)的形式,如x²+y²=0。
2)显函数是用y=f(x)表示的函数,内左边是一个y,右边是x的表达式。比如:y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的,比如2x-y+1=0。
3)有些隐容函数可以表示成显函数,叫做隐函数显化,但也有些隐函数是不能显化的,比如e^y+xy=1。
二、偏导数、方向导数、法向量与梯度
1.偏导数
导数是一元函数的变化率(斜率)。导数也是函数,是函数的变化率与位置的关系。
如果是多元函数呢?则为偏导数。
偏导数是多元函数“退化”成一元函数时的导数,这里“退化”的意思是固定其他变量的值,只保留一个变量,依次保留每个变量,则N元函数有N个偏导数。
由上可知,一个变量对应一个坐标轴,偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数(切线斜率)。
2.方向导数
如果是方向不是沿着坐标轴方向,而是任意方向呢?则为方向导数。如下图所示,点PP位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率,来自链接Directional Derivative
方向导数为函数在某一个方向上的导数,具体地,定义xy平面上一点(a,b)以及单位向量 =(cosθ,sinθ),在曲面z=f(x,y)上,从点(a,b,f(a,b))出发,沿 =(cosθ,sinθ)方向走t单位长度后,函数值z为F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ),则点(a,b)处 =(cosθ,sinθ)方向的方向导数为:
上面推导中使用了链式法则。其中,分别为函数在(a,b)位置的偏导数。由上面的推导可知:
该位置处,任意方向的方向导数为偏导数的线性组合,系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时,方向导数即偏导数,换句话说,偏导数为坐标轴方向上的方向导数,其他方向的方向导数为偏导数的合成。
写成向量形式,偏导数构成的向量为,称之为梯度。
3.梯度
梯度,写作∇f,二元时为,多元时为。
我们继续上面方向导数的推导,(a,b)(a,b)处θ方向上的方向导数为:
其中,ϕ为∇f(a,b)与的夹角,显然,当ϕ=0即与梯度∇f(a,b)同向时,方向导数取得最大值,最大值为梯度的模|∇f(a,b)||,当ϕ=π即与梯度∇f(a,b)反向时,方向导数取得最小值,最小值为梯度模的相反数。此外,根据上面方向导数的公式可知,在夹角ϕ<π/2时方向导数为正,表示方向函数值上升,ϕ>π/2时方向导数为负,表示该方向函数值下降。
至此,方才有了梯度的几何意义:
- 当前位置的梯度方向,为函数在该位置处方向导数最大的方向,也是函数值上升最快的方向,反方向为下降最快的方向;
- 当前位置的梯度长度(模),为最大方向导数的值。
4.等高线图中的梯度
在讲解各种优化算法时,我们经常看到目标函数的等高线图示意图,如下图所示,来自链接Applet: Gradient and directional derivative on a mountain,
图中,红点为当前位置,红色箭头为梯度,绿色箭头为其他方向,其与梯度的夹角为θ。
将左图中z=f(x,y)曲面上的等高线投影到xy平面,得到右图的等高线图。
梯度与等高线垂直(更准确的说法是梯度和等高线的切线垂直)。为什么呢?
等高线,顾名思义,即这条线上的点高度(函数值)相同,令某一条等高线为z=f(x,y)=C,C为常数,两边同时全微分,如下所示:
这里,两边同时全微分的几何含义是,在当前等高线上挪动任意一个极小单元,等号两侧的变化量相同。f(x,y)的变化量有两个来源,一个由x的变化带来,另一个由y的变化带来,在一阶情况下,由x带来的变化量为,由yy带来的变化量为,两者叠加为zz的总变化量,等号右侧为常数,因为我们指定在当前等高线上挪动一个极小单元,其变化量为0,左侧等于右侧。进一步拆分成向量内积形式,为梯度,(dx,dy)为该点指向任意方向的极小向量,因为两者内积为0,所以两者垂直。自然不难得出梯度与等高线垂直的结论。
更进一步地,梯度方向指向函数上升最快的方向,在等高线图中,梯度指向高度更高的等高线。
5.隐函数的梯度
同理,对于隐函数f(x,y)=0,也可以看成是一条高度为零的等高线。这是二元的情况,两边同时微分,梯度垂直于曲线;多元时,两边同时微分,梯度垂直于高维曲面。
即,隐函数的梯度为其高维曲面的法向量。
有了法向量,切线或切平面也就不难计算得到了。令曲线f(x,y)上一点为(a,b),通过全微分得该点的梯度为(,则该点处的切线为,相当于将上面的微分向量(dx,dy)替换为(x−a,y−b),其几何意义为法向量垂直切平面上的任意向量。
1.说到这里了,让我们上一道例题看看:
我们要求二维曲面的法向量(注:二维曲面的说明见下),就是求其对应的隐函数的梯度,然后再求切平面方程:
根据梯度跟切平面垂直的性质可知,梯度(2,4,6)跟平面内任一向量(x-1,y-1,z-1)垂直,及内积为零。
根据梯度和法向量方向相同,即平行,可求法线方程。
2.再看一道题:求y=kx+b的法向量。
同样,构造隐函数F(x,y) = kx + b -y
梯度为(k,-1), 故原直线的法向量为(k,-1)
6. n维曲面的定义
像称为二维曲面。
可以这样理解,直角坐标系里点由x y z决定,自由度是3,
但是曲面上的点局限于曲面内,这是一个constraint,所以自由度是2,因而是二维。(可以理解成只要知道x,y就可以知道z,自由度为2)
二维曲面其实不难理解,地球表面就是,只需要两个坐标就可定位,比如现实中的经度和纬度,所以被认为是二维。当然,这里比较容易混淆的就是,我们是在谈地球表面而非地球本身,地球本身当然是三维的。
7.小结
至此,文章开篇几个问题的答案就不难得出了,
- 偏导数构成的向量为梯度;
- 方向导数为梯度在该方向上的合成,系数为该方向的单位向量;
- 梯度方向为方向导数最大的方向,梯度的模为最大的方向导数;
- 微分的结果为梯度与微分向量的内积
- 等高线全微分的结果为0,所以其梯度垂直于等高线,同时指向高度更高的等高线
- 隐函数的梯度为高维曲面(曲线)的法向量
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