混淆电路的优化：PP、Free XOR、GRR
前置文章：https://blog.csdn.net/weixin_44885334/article/details/126557573
文献：
- Beaver D, Micali S, Rogaway P. The round complexity of secure protocols[C]//Proceedings of the twenty-second annual ACM symposium on Theory of computing. 1990: 503-513.
- Kolesnikov V, Schneider T. Improved garbled circuit: Free XOR gates and applications[C]//International Colloquium on Automata, Languages, and Programming. Springer, Berlin, Heidelberg, 2008: 486-498.
- Pinkas B, Schneider T, Smart N P, et al. Secure two-party computation is practical[C]//International conference on the theory and application of cryptology and information security. Springer, Berlin, Heidelberg, 2009: 250-267.
- Yakoubov S. A gentle introduction to Yao’s Garbled circuits[J]. preprint on webpage at https://web.mit.edu/sonka89/www/papers/2017ygc.pdf, 2017.
文章目录
- P&P
- 原始论文的描述
- 简化的描述
- Free XOR
- 混淆电路的构造
- 混淆电路的计算
- 安全性
- Garbled Row Reduction
- GRR3
- GRR2
- odd gate
- even gate
- 两类门的连接
P&P
P&P技术（point-and-permute technique）是由 Beaver 等人在1990年提出的。利用这个技术，可以不必对混淆真值表的444个条目都尝试解密，而是直接确定要解密哪一个条目。
原始论文的描述
Beaver 等人在文章中提出了将 2PC 的Yao’s GC扩展为 MPC 的 BMR 协议。使用了 PRF、PRG、掷硬币协议、可验证的秘密共享方案、零知识证明、一次一密。对于WWW根线和nnn个人，先掷硬币生成n×2Wn \times 2Wn×2W个私有种子（seeds）和随机比特，而人们的种子的nnn级联作为某根线上的超级种子（super-seeds），每根线上两个超级种子（位置0和位置1）。用 PRG 根据私有种子来生成线标签（wire-labels），根据随机比特利用秘密共享将选择222个超级种子中的一个作为混淆输入（ garbled input），使用一次一密用输入线标签来加密输出线标签得到门标签（ gate-labels）。根据线标签和种子的对应关系（利用PRG），从混淆输入（一个超级种子，包含一些种子）中得到超级种子的位置信息（0或1），然后只解密两根输入线的位置(p,q)∈{0,1}2(p,q) \in \{0,1\}^2(p,q)∈{0,1}2锁定的一个条目即可。这里的位置信息就是 P&P 技术的关键。
简化的描述
上述的描述特别繁琐。下面提取其中包含的关于 P&P 的思想，重新描述一遍。
对于每一根电线，除了分配两个标签ki0,ki1∈{0,1}nk_i^0,k_i^1 \in \{0,1\}^nki0,ki1∈{0,1}n，额外再分配两个选择比特（select bits）pi0,pi1p_i^0,p_i^1pi0,pi1：随机选择r∈{0,1}r \in \{0,1\}r∈{0,1}，令piv=v⊕rp_i^v = v \oplus rpiv=v⊕r。于是针对不同的v∈{0,1}v \in \{0,1\}v∈{0,1}选择比特pivp_i^vpiv也不同，同时pivp_i^vpiv也不会泄露vvv的任何信息。
当然，对于电路输出线，后续就没有其他的逻辑门了，因此不需要分配选择比特。为了保持描述的一致性，我们记做kov∥⊥k_o^v \| \perpkov∥⊥。
不再需要特殊的 elusive range 的对称加密，P&P技术下只需要一个普通的对称加密方案Enc,DecEnc,DecEnc,Dec，以及密钥派生函数（key derivation function）HHH。
对于门ggg，假设它的输入线是i,ji,ji,j，输出线是lll，那么将逻辑输出 g(vi,vj)g(v_i,v_j)g(vi,vj) 对应的 klg(vi,vj)∥plg(vi,vj)k_l^{g(v_i,v_j)} \| p_l^{g(v_i,v_j)}klg(vi,vj)∥plg(vi,vj) 的密文
Enc(H(kivi,kjvj),klg(vi,vj)∥plg(vi,vj))Enc(H(k_i^{v_i},k_j^{v_j}),\, k_l^{g(v_i,v_j)} \| p_l^{g(v_i,v_j)}) Enc(H(kivi,kjvj),klg(vi,vj)∥plg(vi,vj))
放在混淆真值表的第{pivi,pjvj}\{p_i^{v_i},p_j^{v_j}\}{pivi,pjvj}（或者说2pivi+pjvj2p_i^{v_i}+p_j^{v_j}2pivi+pjvj）个位置。
Alice将上述混淆电路发给Bob后，Bob按照拓扑排序进行计算：
- 首先计算电路GCGCGC的电路输入线，他从Alice那里获取到那些逻辑值viv_ivi对应的“标签-选择比特”对 kivi∥pivi∈{0,1}n+1k_i^{v_i} \| p_i^{v_i} \in \{0,1\}^{n+1}kivi∥pivi∈{0,1}n+1，然后通过解密门ggg的第2pivi+pjvj2p_i^{v_i}+p_j^{v_j}2pivi+pjvj个位置的条目，得到门输出线的 klvl∥plvl∈{0,1}n+1k_l^{v_l} \| p_l^{v_l} \in \{0,1\}^{n+1}klvl∥plvl∈{0,1}n+1
- 对于中间的门，我们就获得了其所有的门输入线上的标签和选择比特，继续计算。
- 计算完整个电路后，获得最终结果的标签kov∥⊥k_o^v \| \perpkov∥⊥，然后Alice公布对应关系，结束。
Free XOR
姚的混淆电路在构建的时候，无论是什么 1-out-of-2 逻辑门（与、或、异或、与非、或非）都需要计算444个密文。Kolesnikov 等人针对异或门的特殊性质，给出了不必构造混淆真值表的异或门（Free XOR）的构造。同时，非门本身的计算就是“免费的”，交换 label 即可。
对于异或门的观察如下：假设三根线分别为a,b,ca,b,ca,b,c，随机选择wa0,wb0,R∈{0,1}nw_a^0,w_b^0,R \in \{0,1\}^nwa0,wb0,R∈{0,1}n，设置
wc0=wa0⊕wb0w_c^0 = w_a^0 \oplus w_b^0 wc0=wa0⊕wb0
以及
∀i∈{a,b,c},wi1=wi0⊕R\forall i \in \{a,b,c\},\, w_i^1 = w_i^0 \oplus R ∀i∈{a,b,c},wi1=wi0⊕R
那么容易验证上述关系就是 XOR 的逻辑：
wc0=wa0⊕wb0=(wa0⊕R)⊕(wb0⊕R)=wa1⊕wb1w_c^0 = w_a^0 \oplus w_b^0 = (w_a^0 \oplus R) \oplus (w_b^0 \oplus R) = w_a^1 \oplus w_b^1 wc0=wa0⊕wb0=(wa0⊕R)⊕(wb0⊕R)=wa1⊕wb1
wc1=wc0⊕R=wa0⊕wb0⊕R=wa0⊕(wb0⊕R)=wb0⊕(wa0⊕R)=wa0⊕wb1=wa1⊕wb0w_c^1 = w_c^0 \oplus R = w_a^0 \oplus w_b^0 \oplus R = w_a^0 \oplus (w_b^0 \oplus R) = w_b^0 \oplus (w_a^0 \oplus R) = w_a^0 \oplus w_b^1 = w_a^1 \oplus w_b^0 wc1=wc0⊕R=wa0⊕wb0⊕R=wa0⊕(wb0⊕R)=wb0⊕(wa0⊕R)=wa0⊕wb1=wa1⊕wb0
由于RRR是随机数，因此wivw_i^vwiv都不会泄露vvv的信息。在本构造中，RRR是全局的（global）。
混淆电路的构造
令w={k,p}∈{0,1}n+1w = \{k,p\} \in \{0,1\}^{n+1}w={k,p}∈{0,1}n+1，其中kkk是线标签，ppp是选择比特。全局的随机数R∈{0,1}nR \in \{0,1\}^nR∈{0,1}n。随机生成wi0={ki0,pi0}w_i^0 = \{k_i^0,p_i^0\}wi0={ki0,pi0}，那么
wi1={ki1,pi1}={ki0⊕R,pi0⊕1}w_i^1 = \{k_i^1,\, p_i^1\} = \{k_i^0 \oplus R,\, p_i^0 \oplus 1\} wi1={ki1,pi1}={ki0⊕R,pi0⊕1}
令H:{0,1}∗→{0,1}n+1H:\{0,1\}^* \to \{0,1\}^{n+1}H:{0,1}∗→{0,1}n+1是 ROM 下的Hash函数。
上图中的第3步中，Alice同时为电路输出线制作了混淆表，它包含两个条目（输出比特是000还是111）。这样，当Bob计算完电路后，不必再与Alice通信一轮来获得label和value的对应关系，而是直接自己计算出来。节省了一轮通信。
混淆电路的计算
Bob使用不经意传输获得自己的私有输入的标签和选择比特。
安全性
上述 Free XOR 协议是在半诚实敌手的场景下安全的（secure against semi-honest adversaries）。
使用 cut-and-choose method，可以提升为在恶意敌手（malicious adversaries）的场景下安全的。
Garbled Row Reduction
GRR3
1999年 Naor 等人提出了一种可以将混淆表的条目从444降低到333的方法，同时可以兼容 Free XOR，使得通信量降低了25%25\%25%。
使用 P&P 技术、Free XOR 技术，输入线a,ba,ba,b输出线ccc的逻辑门GiG_iGi的混淆表的第(0,0)(0,0)(0,0)个条目为：
eva,vb=H(kava∥kbvb∥i)⊕(kc0⊕gi(va,vb)⋅R)e_{v_a,v_b} = H(k_a^{v_a} \| k_b^{v_b} \| i) \oplus \left( k_c^0 \oplus g_i(v_a,v_b) \cdot R \right) eva,vb=H(kava∥kbvb∥i)⊕(kc0⊕gi(va,vb)⋅R)
其中 pava=0,pbvb=0p_a^{v_a}=0,p_b^{v_b}=0pava=0,pbvb=0
由于 Enc(key,⋅)Enc(key,\cdot)Enc(key,⋅) 本身可以视为PRFPRFPRF，因此 m:=Enc−1(key,0n)m := Enc^{-1}(key, 0^n)m:=Enc−1(key,0n) 可以视为随机数。我们设置：
kc0=H(kava∥kbvb∥i)⊕gi(va,vb)⋅Rk_c^0 = H(k_a^{v_a} \| k_b^{v_b} \| i) \oplus g_i(v_a,v_b) \cdot R kc0=H(kava∥kbvb∥i)⊕gi(va,vb)⋅R
那么明显 kc0k_c^0kc0 仍满足伪随机性，且它使得混淆表的第一个条目的密文为0n0^n0n，不必发送。于是四个条目的混淆表，我们只需发送其中的333个密文。
GRR2
2009年 Pinkas 等人提出了一种可以将混淆表的条目从444降低到222的方法，使得通信量降低了50%50\%50%。方案是使用拉格朗日插值公式，而非加密算法。
仅考虑 2-to-1 逻辑门（任意 m-to-1 逻辑门可以表示为一组 2-to-1 逻辑门，而 1-to-1 逻辑门可以简化为111根导线）。对于真值表包含奇数个“1”的逻辑门，叫它奇逻辑门（odd gate）；否则，叫它偶逻辑门（even gate）。
对于逻辑门的444个条目，标记为{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}{1,2,3,4}。逻辑门ggg的两根输入线是i,ji,ji,j，输出线是lll，线标记为kivi,kjvj,klvl∈{0,1}nk_i^{v_i},k_j^{v_j},k_l^{v_l} \in \{0,1\}^nkivi,kjvj,klvl∈{0,1}n，对应的选择比特为pivi,pjvj,plvl∈{0,1}p_i^{v_i},p_j^{v_j},p_l^{v_l} \in \{0,1\}pivi,pjvj,plvl∈{0,1}。
构造有限域GF(2t)=GF(2)[x]/(f(x))GF(2^t) = GF(2)[x]/(f(x))GF(2t)=GF(2)[x]/(f(x))，以及多项式环GF(2t)[X]GF(2^t)[X]GF(2t)[X]。
设置条目位置r=2pivi+pjvj+1r = 2p_i^{v_i}+p_j^{v_j}+1r=2pivi+pjvj+1，计算条目的掩码（the value used to mask this entry）：
Kr∥Mr=KDFt+1(kivi,kjvj,s)K_r \| M_r = KDF^{t+1}(k_i^{v_i},k_j^{v_j},s) Kr∥Mr=KDFt+1(kivi,kjvj,s)
其中s=Gid∥pivi∥pjvjs = Gid \| p_i^{v_i} \| p_j^{v_j}s=Gid∥pivi∥pjvj，Kr∈{0,1}tK_r \in \{0,1\}^tKr∈{0,1}t是有限域元素，Mr∈{0,1}M_r \in \{0,1\}Mr∈{0,1}用来加密门输出线的选择比特plvlp_l^{v_l}plvl
odd gate
对于奇数门，在真值表上要么有333个“1”，要么有333个“0”。以 OR 门举例：它有333个“1”，分别位于条目的第2,3,42,3,42,3,4位置。
| OR Gate | viv_ivi | vjv_jvj | vlv_lvl |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | 1 | 1 |
Alice按照拓扑排序，生成逻辑门的线标签和选择比特，根据两根输入线的444个k∥pk\|pk∥p，用KDFKDFKDF计算出444个位置的掩码Kr∥MrK_r \| M_rKr∥Mr
我们定义二次多项式P(X)∈GF(2t)[X]P(X) \in GF(2^t)[X]P(X)∈GF(2t)[X]，它经过三个点：(2,K2),(3,K3),(4,K4)(2,K_2),\, (3,K_3),\, (4,K_4)(2,K2),(3,K3),(4,K4)，可以用拉格朗日插值法计算出P(X)P(X)P(X)
然后计算额外的两点(5,K5),(6,K6)(5,K_5),\, (6,K_6)(5,K5),(6,K6)，它们连同(1,K1)(1,K_1)(1,K1)一同做拉格朗日插值，计算出另一个二次多项式Q(X)∈GF(2t)[X]Q(X) \in GF(2^t)[X]Q(X)∈GF(2t)[X]
定义输出线的标签为两个函数的y−y-y−截矩：
kl0=P(0),kl1=Q(0)k_l^0 = P(0),\, k_l^1 = Q(0) kl0=P(0),kl1=Q(0)
注意，这里的0,1,2,3,4,5,6∈GF(2t)0,1,2,3,4,5,6 \in GF(2^t)0,1,2,3,4,5,6∈GF(2t)都是有限域元素，例如2:=x+12 := x+12:=x+1
另外，输出线的选择比特plvlp_l^{v_l}plvl也应当被保护起来。使用MrM_rMr来加密：
er=plvl⊕Mr,r=1,2,3,4e_r = p_l^{v_l} \oplus M_r,\, r=1,2,3,4 er=plvl⊕Mr,r=1,2,3,4
Alice在发送混淆电路时，每一个奇逻辑门需要发送K5,K6K_5,K_6K5,K6以及er,r=1,2,3,4e_r,r=1,2,3,4er,r=1,2,3,4，一共是2t+42t+42t+4比特。
| 公共点1 | 公共点2 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| K5K_5K5 | K6K_6K6 | e1e_1e1 | e2e_2e2 | e3e_3e3 | e4e_4e4 |
Bob接收到 odd gate 的混淆表：
- 根据已知的输入线的kivi∥pivi,kjvj∥pjvjk_i^{v_i}\|p_i^{v_i},k_j^{v_j}\|p_j^{v_j}kivi∥pivi,kjvj∥pjvj，用KDFKDFKDF计算出原始真值表的其中一个条目的掩码Kr∥MrK_r\|M_rKr∥Mr，条目的位置是r=2pivi+pjvj+1r=2p_i^{v_i}+p_j^{v_j}+1r=2pivi+pjvj+1。
- 然后根据(r,Kr),(5,K5),(6,K6)(r,K_r),(5,K_5),(6,K_6)(r,Kr),(5,K5),(6,K6)插值得到多项式R(X)R(X)R(X)，它可能是P(X)P(X)P(X)也可能是Q(X)Q(X)Q(X)，这取决于vlv_lvl的值。
- 计算klvl=R(0)k_l^{v_l} = R(0)klvl=R(0)，解密plvl=er⊕Mrp_l^{v_l} = e_r \oplus M_rplvl=er⊕Mr，得到门输出线的klvl∥plvlk_l^{v_l}\|p_l^{v_l}klvl∥plvl，进行后续逻辑门的计算。
在 Yakoubov 的综述中，给出了一个描绘 odd gate 原理的图：
even gate
而非平凡的 2-to-1 偶数门只有异或门（XOR）和同或门（NXOR），其他的偶数门都可以化简成一根电线（全0，全1，传递其中1根线的值）。这两个门都有222个“0”和222个“1”。
以 XOR 门举例：它有222个“1”，分别位于条目的第2,32,32,3位置；第1,41,41,4位置都是000
| XOR Gate | viv_ivi | vjv_jvj | vlv_lvl |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | 1 | 0 |
Alice按照拓扑排序，生成逻辑门的线标签和选择比特，根据两根输入线的444个k∥pk\|pk∥p，用KDFKDFKDF计算出444个位置的掩码Kr∥MrK_r \| M_rKr∥Mr
我们定义线性多项式P(X)∈GF(2t)[X]P(X) \in GF(2^t)[X]P(X)∈GF(2t)[X]，对应输出000，它经过两个点：(1,K1),(4,K4)(1,K_1),\,(4,K_4)(1,K1),(4,K4)，使用拉格朗日插值法（两点式）得到。然后计算K5=P(5)K_5 = P(5)K5=P(5)，如果输出线的选择比特pl0=0p_l^0=0pl0=0，那么存放在混淆表的第一个条目上，否则放在第二个条目上。
同时定义线性多项式Q(X)∈GF(2t)[X]Q(X) \in GF(2^t)[X]Q(X)∈GF(2t)[X]，对应输出111，它经过两个点：(2,K2),(3,K3)(2,K_2),\,(3,K_3)(2,K2),(3,K3)，使用拉格朗日插值法（两点式）得到。然后计算K5′=Q(5)K_5' = Q(5)K5′=Q(5)，如果输出线的选择比特pl1=1p_l^1=1pl1=1，那么存放在混淆表的第二个条目上，否则放在第一个条目上。
注意，上述使用的选择比特是输出线的！并非输入线的选择比特。因为P(x)P(x)P(x)对应的是vl=0v_l=0vl=0，Q(x)Q(x)Q(x)对应的是vl=1v_l=1vl=1，那么P(0),Q(0)P(0),Q(0)P(0),Q(0)也分别对应两者。
定义输出线的标签为两个函数的y−y-y−截矩：
kl0=P(0),kl1=Q(0)k_l^0 = P(0),\, k_l^1 = Q(0) kl0=P(0),kl1=Q(0)
另外，输出线的选择比特plvlp_l^{v_l}plvl分别使用MrM_rMr来加密，密文是er,r=1,2,3,4e_r,r=1,2,3,4er,r=1,2,3,4。计算电路时，为了确定使用混淆表的哪个条目，需要先解密！
Alice在发送混淆电路时，每一个偶逻辑门需要发送K5,K5′K_5,K_5'K5,K5′以及er,r=1,2,3,4e_r,r=1,2,3,4er,r=1,2,3,4，一共是2t+42t+42t+4比特。对于pl0=0,pl1=1p_l^0=0,p_l^1=1pl0=0,pl1=1的情况，混淆表如下：
| PPP的辅助点 | QQQ的辅助点 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| K5K_5K5 | K5′K_5'K5′ | e1e_1e1 | e2e_2e2 | e3e_3e3 | e4e_4e4 |
Bob接收到 even gate 的混淆表：
- 根据已知的输入线的kivi∥pivi,kjvj∥pjvjk_i^{v_i}\|p_i^{v_i},k_j^{v_j}\|p_j^{v_j}kivi∥pivi,kjvj∥pjvj，用KDFKDFKDF计算出原始真值表的其中一个条目的掩码Kr∥MrK_r\|M_rKr∥Mr，条目的位置是r=2pivi+pjvj+1r=2p_i^{v_i}+p_j^{v_j}+1r=2pivi+pjvj+1。
- 然后用MrM_rMr解密出plvl=er⊕Mrp_l^{v_l} = e_r \oplus M_rplvl=er⊕Mr，
- 如果plvl=0p_l^{v_l}=0plvl=0，那么根据(r,Kr)(r,K_r)(r,Kr)和第一个条目(5,K5)(5,K_5)(5,K5)插值得到多项式P(X)P(X)P(X)，计算出kl0=P(0)k_l^0 = P(0)kl0=P(0)，Bob得到了门输出线的kl0∥pl0k_l^0\|p_l^0kl0∥pl0
- 如果plvl=1p_l^{v_l}=1plvl=1，那么根据(r,Kr)(r,K_r)(r,Kr)和第二个条目(5,K5′)(5,K_5')(5,K5′)插值得到多项式Q(X)Q(X)Q(X)，计算出kl1=Q(0)k_l^1 = Q(0)kl1=Q(0)，Bob得到了门输出线的kl1∥pl1k_l^1\|p_l^1kl1∥pl1
- Bob继续进行后续逻辑门的计算。
对于pl0=1,pl1=0p_l^0=1,p_l^1=0pl0=1,pl1=0的情况，过程类似，
- 如果plvl=0p_l^{v_l}=0plvl=0，那么根据(r,Kr)(r,K_r)(r,Kr)和第一个条目(5,K5′)(5,K_5')(5,K5′)插值得到多项式Q(X)Q(X)Q(X)，计算出kl1=Q(0)k_l^1 = Q(0)kl1=Q(0)，Bob得到了门输出线的kl1∥pl1k_l^1\|p_l^1kl1∥pl1
- 如果plvl=1p_l^{v_l}=1plvl=1，那么根据(r,Kr)(r,K_r)(r,Kr)和第二个条目(5,K5)(5,K_5)(5,K5)插值得到多项式P(X)P(X)P(X)，计算出kl0=P(0)k_l^0 = P(0)kl0=P(0)，Bob得到了门输出线的kl0∥pl0k_l^0\|p_l^0kl0∥pl0
由于plvlp_l^{v_l}plvl并不透露vlv_lvl的信息，因此Bob实际上无法区分上述两种情况。Bob只根据plvlp_l^{v_l}plvl来挑选使用第几个条目，然后计算出的 label klvlk_l^{v_l}klvl就是 XOR Gate 的正确输出vlv_lvl所对应的。
自己画的示意图：
两类门的连接
Alice在生成混淆电路时，无论哪种逻辑门，她都是知道输出线的逻辑值和标签与选择比特的关系的。因此Alice可以根据电路CCC生成混淆电路GCGCGC。
另外，Bob也是知道CCC的构造，因此他知道哪些门是 odd gate，哪些门是 even gate，从而正确地计算电路。
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