连续时间 Markov 链从某一状态 i 转移到其他状态之前在 i 逗留的时间服从指数分布

【求证】连续时间 MarkovMarkovMarkov 链从某一状态 iii 转移到其他状态之前在 iii 逗留的时间服从指数分布

【证明】因为由https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E8%AE%B0%E5%BF%86%E6%80%A7/59963523?fr=aladdin，知“具有无记忆性的分布有且仅有两种分布：对于离散型随机变量有且仅有几何分布具有无记忆性，而对于连续型随机变量有且仅有指数分布具有无记忆性”。所以，针对连续时间 MarkovMarkovMarkov 链从某一状态 iii 转移到其他状态之前在 iii 逗留的时间 τi\tau_iτi，只需证明其具有无记忆性，便可得证其服从指数分布。

注意到：
{τi>s}⟺{X(u)=i,0<u≤s∣X(0)=i}\{\tau_i \gt s\} \iff \{X(u)=i,0 \lt u \leq s | X(0)=i\}{τi>s}⟺{X(u)=i,0<u≤s∣X(0)=i}
{τi>s+t}⟺{X(u)=i,0<u≤s,X(v)=i,s<v≤s+t∣X(0)=i}\{\tau_i \gt s+t\} \iff \{X(u)=i,0 \lt u \leq s,X(v)=i,s \lt v \leq s+t | X(0)=i\}{τi>s+t}⟺{X(u)=i,0<u≤s,X(v)=i,s<v≤s+t∣X(0)=i}
则有：
P{τi>s+t∣τi>s}P\{\tau_i \gt s+t | \tau_i \gt s\}P{τi>s+t∣τi>s}
=P{X(u)=i,0<u≤s,X(v)=i,s<v≤s+t∣X(u)=i,0≤u≤s}=P\{X(u)=i,0 \lt u \leq s,X(v)=i,s \lt v \leq s+t | X(u)=i,0 \leq u \leq s\}=P{X(u)=i,0<u≤s,X(v)=i,s<v≤s+t∣X(u)=i,0≤u≤s}
=P{X(v)=i,s<v≤s+t∣X(s)=i}=P\{X(v)=i,s \lt v \leq s+t | X(s)=i\}=P{X(v)=i,s<v≤s+t∣X(s)=i} （马尔科夫性）
=P{X(u)=i,0<u≤t∣X(0)=i}=P\{X(u)=i,0 \lt u \leq t | X(0)=i \}=P{X(u)=i,0<u≤t∣X(0)=i}
=P{τi>t}=P\{\tau_i \gt t \}=P{τi>t}

【本文对应的 MarkdownMarkdownMarkdown 代码】

【求证】连续时间 $Markov$ 链从某一状态 $i$ 转移到其他状态之前在 $i$ 逗留的时间服从指数分布【证明】因为由https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E8%AE%B0%E5%BF%86%E6%80%A7/59963523?fr=aladdin， 知“<font color="red">具有无记忆性的分布有且仅有两种分布：对于离散型随机变量有且仅有几何分布具有无记忆性，而对于连续型随机变量有且仅有指数分布具有无记忆性</font>”。所以，针对连续时间 $Markov$ 链从某一状态 $i$ 转移到其他状态之前在 $i$ 逗留的时间 $\tau_i$，只需证明其具有无记忆性，便可得证其服从指数分布。
注意到：
$\{\tau_i \gt s\} \iff \{X(u)=i,0 \lt u \leq s | X(0)=i\}$
$\{\tau_i \gt s+t\} \iff \{X(u)=i,0 \lt u \leq s,X(v)=i,s \lt v \leq s+t | X(0)=i\}$
则有：
$P\{\tau_i \gt s+t | \tau_i \gt s\}$
$=P\{X(u)=i,0 \lt u \leq s,X(v)=i,s \lt v \leq s+t | X(u)=i,0 \leq u \leq s\}$
$=P\{X(v)=i,s \lt v \leq s+t | X(s)=i\}$        （马尔科夫性）
$=P\{X(u)=i,0 \lt u \leq t | X(0)=i \}$
$=P\{\tau_i \gt t \}$\

【参考文献】
https://zhuanlan.zhihu.com/p/369096334
https://baike.baidu.com/item/无记忆性/59963523?fr=aladdin

连续时间 Markov 链从某一状态 i 转移到其他状态之前在 i 逗留的时间服从指数分布相关推荐

随机过程 Markov 链（下）
文章目录随机过程 Markov 链(下) Markov 链的应用群体消失模型(分支过程) 人口结构变化的 Markov 链模型连续时间 Markov 链定义与性质 Kolmogorov 微分方 ...
马尔可夫决策过程 Markov decision process MDP, 连续时间Markov chain, CMDP（全）
引言在概率论及统计学中,马尔可夫过程(英语:Markov process)是一个具备了马尔可夫性质的随机过程,因为俄国数学家安德雷·马尔可夫得名.马尔可夫过程是不具备记忆特质的(memoryless ...
读书笔记：Markov链的状态分类之互达性
(可达与互达)如果对某一 n≥0n\geq 0n≥0,有 Pij(n)>0P_{ij}^{(n)} \gt 0Pij(n)>0,则称状态 jjj 是从状态 iii 可达的 (access ...
读书笔记：Markov链的状态分类之周期性
(状态 iii 的周期) ⨀\bigodot⨀ 设 iii 为 MarkovMarkovMarkov 链的一个状态,使 Pii(n)>0P_{ii}^{(n)} \gt 0Pii(n)> ...
随机过程 Markov 链（上）
文章目录随机过程 Markov 链(上) 基本概念 n 步转移概率 C-K 方程状态的分类及性质随机过程 Markov 链(上) 基本概念有一类过程,具备所谓的 "无后效性" ...
生物信息中的Markov链
Markov链 Markov链是状态的集合,也可以理解为一条有时序性的状态链,它的一个基本假设是下一状态只与当前状态有关,与过去的状态无关,用数学语言描述便是: $$P(x_{i}|x_{i-1},x ...
用matlab进行markov链预测,用MATLAB仿真markov链程序
<用MATLAB仿真markov链程序>由会员分享,可在线阅读,更多相关<用MATLAB仿真markov链程序(2页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.用MATLAB仿真ma ...
oracle连续状态相同,数据库共有三种状态：quiesce、resrict、suspend
数据库共有三种状态:quiesce.resrict.suspend 一.quiesce模式首先来说说数据库的静默状态静默状态是指数据库中只存在sys和system用户建立的活动会话.只有dba能继 ...
Markov链：初始概率、绝对概率
设 { X n , n ≥ 0 } \{X_n,n \geq 0\} {Xn,n≥0} 为 Markov 链,称 p j = P { X 0 = j } , j ∈ S p_j=P\{X_0=j\} ...
[机器学习入门]——第六课-Markov链
文章目录第六课-Markov链一.贝叶斯网半朴素贝叶斯朴素贝叶斯半朴素贝叶斯贝叶斯网变量之间的典型依赖关系独立与条件独立二.贝叶斯网到Markov模型三.Markov链 Marko ...

连续时间 Markov 链从某一状态 i 转移到其他状态之前在 i 逗留的时间服从指数分布

连续时间 Markov 链从某一状态 i 转移到其他状态之前在 i 逗留的时间服从指数分布相关推荐

最新文章

热门文章