计算机控制系统的数学模型.ppt

第5章 计算机控制系统的数学模型 概述 5.1 计算机控制系统数学模型的建立 5.2 计算机控制系统的时域模型 5.3 计算机控制系统的频域模型 5.4 计算机控制系统的状态空间模型 概述 所谓系统的“模型”，是指对具体系统的特征及其运动规律的一种表示或抽象，是对经过合理简化后的系统的描述。 在连续系统中，表示输入信号和输出信号关系的数学模型用微分方程和传递函数来描述；在离散系统中，则用差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式来描述。在计算机控制系统中常用的数学模型主要有：以微分方程或差分方程形式表达的时域模型、以传递函数形式表达的频域模型、系统方框图以及现代控制理论中常用的状态空间模型。 从本质上讲，计算机控制系统属于离散控制系统。 系统的模型有物理模型和数学模型之分。物理模型是指由物理性能已知的器件组合起来的一种具有与系统实体相似性质的模型。所谓数学模型就是对于现实世界的一个特定问题，为了某种目的，根据其内在规律，通过必要的抽象简化，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。通俗地说，数学模型就是描述实际问题某方面规律的数学公式、图形或算法。 分析法建立系统数学模型的一般步骤： 建立物理模型； 列写原始方程，利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等； 选定系统的输入量、输出量及状态变量(仅在建立状态模型时要求)，消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。 实验法——基于系统辨识的建模方法步骤： 已知知识和辨识目的； 实验设计：选择实验条件； 模型阶次选择：选择适合于应用的适当的阶次； 参数估计：常采用最小二乘法进行参数估计； 模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。 定义 5.2.1 线性常系数微分方程 5.2.2 线性常系数差分方程 计算机控制系统的时域模型主要以微(差)分方程的形式表达，建立在传递函数基础之上，也称输入输出描述法。其中，微分方程是连续时间系统数学模型的最基本表达形式，N阶线性常系数微分方程的基本形式为： 5.2.1 线性常系数微分方程 列写如图5-1所示系统的微分方程式： 对图(a)机械系统，输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式： 由(5-6)、(5-7)、(5-8)解出i代入(5-5)，并将(5-5)两边微分，得 5.2.2 线性常系数差分方程 如果系统的输入/输出特性是线性的，则该系统为线性系统。其基本特性是满足叠加原理： 如果y(n)是系统对x(n)的响应，当输入序列为x(n-k)时，系统的响应为 ： 或表示为： 5.3 计算机控制系统的频域模型 5.3.1 Z变换理论 5.3.2 连续时间系统的传递函数 5.3.3 离散时间系统的传递函数 5.3.1 Z变换理论 2. Z变换的性质 6)终值定理 3. Z反变换 已知变换式 X(z),求出相应的离散序列 x(n)或x(nT)的过程称作Z反变换。一般有三种方法：部分分式展开法，幂级数展开法和反演积分法，也可以使用MATLAB的函数来计算。作反变换时，仍假定信号序列是单边的，即 n<0,x(n)=0. 在MATLAB中，逆Z变换的调用如下： (1)f=iztrans(F)：关于符号表达式对象F的逆Z变换，缺省的自变量为z。缺省返回是关于n的函数。如果 F=F(n), iztrans返回关于k的函数。 (2) f=iztrans(F,k):返回关于k的函数，而不是关于n的函数。在此k为符号表达式对象。 (3) f=iztrans(F,w,k):F是关于w的函数，而不是隐含的findsym(F)确定的，返回关于k的函数。 4. Z变换法解差分方程 用Z变换求解差分方程，主要用到了Z变换的实数位移定理。Z变换法求解差分方程的一般方法可以归结如下： 1)对差分方程两端同时取Z变换； 2)利用初始条件化简Z变换式； 3)将Z变换式改写成如下形式 : 【例5-2】用Z变换法解差分方程： 5. Z变换与拉普拉斯变换 1)拉氏变换与Z变换的应用系统不同 Z变换是对连续信号的采样序列进行变换，因此Z变换与其原函数并非一一对应，而只是与采样序列对应。所以，不同的原函数可能会有相同的Z变换式。 2)Z变换的收敛区间 3)巴什瓦定理 满足了收敛条件，则 Z变换对存在。不难证明，对于 Z变换也存在离散的巴什瓦(Parsval) 定理： 拉氏变换是以s为自变量，而Z变换是以z为自变量。 简单地说，就是 s平面的虚轴在z平面的映射为一单位圆如图5-2所示