分形维的计算方法比较多，虽然准确度各不相同，但结果都大同小异。最近对这方面做了一些了解，并用在图像的特征提取中。现在总结一下。

俺们做磕盐的银，转载也要严谨的注明出处，吴有光20111121写于博客:http://blog.sina.com.cn/wuyouguang

1，盒子法（box-counting）【1】

Gangepain于1986年提出来的。将图像看做三维的曲面，然后计算覆盖的盒子数，即可得到分形维数。

Step 1:对于一幅MxM的图像，看其看做三维空间的一个曲面。长为M宽为M高为L，其中L为图像的像素级数，一般取L=256.

Step 2: 将其所在平面(MxM)分为RxR大小的网格，在“高度”这个坐标也进行相同的划分，不过划分的单位为R*L/M。这样，图像所在三维空间就被划分中很多“盒子”。看得出来，这样划分的目的是使长宽方向和高度方向的划分“次数”相同。

Step 3：在被划分成的每个RxR个网格内，找出最大像素值u和最大像素值b，输出从最小值到最大值，一共要几个盒子才能覆盖住,盒子个数记为n(i,j)——假设当前是第（i，j）个网格。即n(i,j)=[(u-b+R-1)/R]，式中[为取整符号].

Step 4: 对每个RxR的盒子数求和，记为N。即N=sum(n(i,j))。

Step 5: 此时理论上分形维数D= -logN/logR,当R趋于无穷大时。当现实中R是有限值，所以改变R的值，求出一组N来，应用线性拟合，所得直线的斜率就是D。

英文版如下

2,随机游走法（fractional Brownian motion，FBM)【2】

这是分形的大牛Mandelbrot在他的“自然界的分形几何”中提出的。

在这种模型中，图像的灰度值被认为是随机游走的结果，于是就可用fBf模型来建模。

Step 1：将图像灰度值看做随机游走的结果，设定一个间隔值R（比如R=3），计算G=I（x2，y2）-I(x1,y1)，其中要求||(x2,y2)-(x1,y1)||=R。简化计算就是每个点跟他上下左右相邻R的像素点作差。

Step 2：计算G的期望，就是均值，也就是全部加起来除以总个数，得到E（G）。

Step 3：理论上，log(E)=(3-D)logR+c，c为常数。为了精确计算，跟上面的方法1一样，取不同的R，最后得到一组对应的E和R，进行线性拟合，得到的斜率就是3-D。

英文版如下

3，频域法【4,5】

Pentland提出了频域分形维估计方法。

Step 1：全图做傅里叶变换，则fBf的傅里叶功率谱满足P(f)=f^(-2h-1)=f^(2D-5)。其中h是临时变量，这里无用；D就是分形维数。

Step 2：在功率谱图上，对相同频率的数值求和，即距离原点为5的点累加为P（5），以此类推。得到P(f)--f函数

Step 3：对logP(f)，logf进行线性拟合，斜率就是2D-5。就可以求出D了。

英文版如下

Bibliography

[1]. Gangepain and C. Roques-Carmes, “Fractal approach to two dimensional and three dimensional surface roughness,” Wear, 1986,vol. 109, pp.119-126

[2]B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry ofNature, San Francisco, CA:Freeman, 1982.

[3] C.-M Wu, Y.-C. Chen, and K.-S. Hsieh, “Texture features for classification of ultrasonic liver images,” IEEE Trans. Med. Imag., vol. 11, pp. 141–152, June 1992.

[4]Alex P. Pentland. Fractal-Based Description of Natural Scenes. IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence. Vol. Pami-6, No.6, 1984

[5]Nirupam Sarkar and B. B. Chaudhuri. An Efficient Differential Box-Counting Approach to Compute Fractal Dimension of Image. IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS, VOL. 24. NO. I . pp115-120. JANUARY 1994