0 前言

经验模态分解(EMD)是希尔伯特-黄变换(HHT)分析的核心，是有效计算瞬时频率的必要条件。

本文对三种瞬时频率计算方法：希尔伯特变换(HT，Hilbert Transform)、归一化希尔伯特变换(NHT，Normalization Hilbert Transformation)和直接正交(DQ，Direct Quadrature)法，进行了统一的理论分析，并对这三种方法进行比较。

1 瞬时频率和经验模态分解

1.1 瞬时频率的定义

希尔伯特变换与三瞬属性简介

1.2 经验模态分解

1、固有模态函数IMF与经验模态分解EMD

2、使用MATLAB实现对信号的EMD分解

2 瞬时频率的计算方法

2.1 HT方法

假设c(t)是一个IMF，对c(t)做希尔伯特变换：

从而得到c(t)的解析信号：

则：

根据上述的瞬时频率计算过程可以看出，要求任何一个IMF都可以表示为【c(t)=a(t)·cosφ(t)】的形式，并且局部时间内a(t)的波动频率要比φ(t)的波动频率低，因而具有物理意义的瞬时频率仅仅取决于相位函数φ(t)，即等于有：

但是上图的等式(记为公式A)并非无条件成立，这是因为两个函数乘积的希尔伯特变换要受到Bedrosian定理的约束。定理如下：

因此公式A成立的条件是：a(t)的傅里叶频谱和cos(φt)的傅里叶频谱在频域中是完全不相交的，并且cos(φt)的频谱比a(t)的频谱高。但是对于一般的函数来说，很少能够同时满足这两个条件的，所以对于直接对IMF进行希尔伯特变换得到的解析函数，再由它求得的相位函数不一定是真实的相位函数，从而由其求得的瞬时频率不一定是信号的真实频率。

2.2 NHT方法

主要思想是将原始信号分解为调幅分量和调频分量，由调幅分量得到瞬时振幅，对调频分量再进行希尔伯特变换得到瞬时频率。

归一化希尔伯特变换是一种基于经验的归一化方案，可以把IMF的调幅(AM)分量和调频(FM)分量分离。归一化方案如下：

(1)使用EMD对数据筛选出IMFs；

(2)对IMF，即c(t)取绝对值后找出其所有极大值点；

(3)对极大值点使用样条函数构造出样条包络线e₁(t)；

(4)使用e₁(t)来归一化数据，即：

(5)如下：

(上述归一化方案已结束)。现在有：

通过归一化希尔伯特变换计算瞬时频率的过程如下：

由上图可以看出，归一化方案实际是把一个IMF的振幅变化部分(即调幅分量)消除，仅仅保留了频率变化部分(即调频分量)不变，从而使得IMF的调幅分量和调频分量分离开。而一个IMF的瞬时频率是由其相位函数决定的(也即是它的调频分量)，而经过归一化方案得到IMF的经验调频分量F(t)，有效地消除了振幅的振动对相位函数的影响，可以直接对其进行希尔伯特变换求出相应的相位函数，不再对两个函数(即调幅和调频)的乘积进行希尔伯特变换，从而不必再受到Bedrosian定理条件的限制。

2.3 DQ方法

直接正交方法计算瞬时频率的计算过程如下：

该方法不用希尔伯特变换，而在直接根据归一化得到的经验调频分量求其正交函数，然后利用反正切函数求其相位函数，从而求得相应的瞬时频率。这样完全绕开了由于使用希尔伯特变换而受到Bedrosian定理和Nuttall定理的限制。但是根据奈奎斯特(Nyquist)定理，需要足够高的采样频率，才能使采集的信号数据不失真，从而计算出比较精确的瞬时频率。

3 三种瞬时频率计算方法的比较

根据上述三种瞬时频率计算方法的介绍和分析，在此总结各自的优缺点：

1、直接希尔伯特变换的瞬时频率计算方法，由于同时受到Bedrosian定理和Nuttall定理的限制，因此其计算得到的瞬时频率与真实瞬时频率存在比较大的误差，不利于对非线性、非稳定信号的时频分析；

2、归一化希尔伯特变换的瞬时频率计算方法，由于是通过对IMF数据进行了归一化，消除了振幅波动对相位函数的影响，从而绕开了Bedrosian定理的限制，对非线性非稳定信号提供局部化、稳定的、详细的瞬时频率；但是仍然受到Nuttall定理的限制，还是跟真实频率有一定的误差；

3、直接正交的瞬时频率计算方法，由于不使用希尔伯特变换，因此没有受到Bedrosian定理和Nuttall定理的限制，能够计算比较精确的瞬时频率，误差最小。

4 参考文献

基于EMD的瞬时频率计算方法的比较研究

END

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