定积分分部积分典型例题_定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案

例1 求33322

1lim

(2)n n n n n →∞+++．

分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．

解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n

=?的一个因子1

n 乘

入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即

33322

1lim

(2)n n n n n →∞+++=333

112

lim ()n n n n n

n →∞++

+=1303

xdx =?．

例2 2

2x x dx -?

=_________．

解法1 由定积分的几何意义知，2

2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)

与x 轴所围成的图形的面积．故220

2x x dx -?

．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t (2

t π

≤≤

)，则

2x x dx -?

1sin cos t tdt ππ-

21sin cos t tdt π

=220

2cos tdt π

π 例3 (1)若2

()x t x

f x e dt -=?，则()f x '=___；(2)若0

()()x

f x xf t dt =?，求()f x '=___．

分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可

()

()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．

解 (1)()f x '=42

2x x xe e ---；

(2) 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x

f x x f t dt =?，则

可得

()f x '=0()()x

f t dt xf x +?．

例4 设()f x 连续，且31

()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．

解对等式310

()x f t dt x -=?

两边关于x 求导得

32(1)31f x x -?=，

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